Question

Найти производную Y=4^tgx arctg3x

Answer 1

$y`=4 ^{tgx}ln4arctg3x+3*4 ^{tgx} /(1+9x^2)$

Answer 2

Решение
Найти производную
Y=4^tgx arctg3x
y` = 4^tgx*ln4*(1/cos²x)* arcctg3x + 4^tgx * [3/(1 + 9x²)

Answer 3

Для нахождения производной функции Y = 4^tg(x) * arctg(3x) нам потребуется использовать правила дифференцирования.

Для начала, заметим, что у нас есть произведение двух функций: 4^tg(x) и arctg(3x). Для дифференцирования произведения функций мы можем использовать правило производной произведения, которое гласит:

(d/dx)(f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x),

где f'(x) обозначает производную функции f(x), а g'(x) обозначает производную функции g(x).

Применяя это правило к нашей функции, получаем:

Y' = (d/dx)(4^tg(x) * arctg(3x)) = (d/dx)(4^tg(x)) * arctg(3x) + 4^tg(x) * (d/dx)(arctg(3x)).

Теперь нужно вычислить производные каждого компонента.

1. Вычислим производную 4^tg(x): Правило дифференцирования для функции a^u, где a - постоянное число и u - функция от x, выглядит следующим образом:

(d/dx)(a^u) = ln(a) * a^u * (d/dx)(u).

Применяя это правило к нашей функции 4^tg(x), получаем:

(d/dx)(4^tg(x)) = ln(4) * 4^tg(x) * (d/dx)(tg(x)).

2. Вычислим производную tg(x): Производная тангенса tg(x) равна секансу в квадрате (sec^2(x)):

(d/dx)(tg(x)) = sec^2(x).

3. Вычислим производную arctg(3x): Производная арктангенса arctg(u) равна 1 / (1 + u^2), где u - функция от x:

(d/dx)(arctg(3x)) = 1 / (1 + (3x)^2) * (d/dx)(3x).

Итак, мы вычислили производные каждого компонента нашей функции Y:

(d/dx)(4^tg(x)) = ln(4) * 4^tg(x) * sec^2(x), (d/dx)(tg(x)) = sec^2(x), (d/dx)(arctg(3x)) = 1 / (1 + (3x)^2) * 3.

Теперь можем собрать все вместе:

Y' = ln(4) * 4^tg(x) * sec^2(x) * arctg(3x) + 4^tg(x) * sec^2(x) * 1 / (1 + (3x)^2) * 3.

Это и