Question

Сколько корней имеет уравнение: 2cos^2(2x-пи/4)-2sin^2(пи/4-2x)+1=0, на отрезке [пи/2; 3пи/2]

Answer 1

Решение во вложениях. Удачи.

Answer 2

Для решения уравнения необходимо привести его к более удобному виду, используя тригонометрические тождества.

Заметим, что:

sin(π/4 - 2x) = sin(π/4)cos(2x) - cos(π/4)sin(2x) = (1/√2)cos(2x) - (1/√2)sin(2x) cos(2x - π/4) = cos(2x)cos(π/4) + sin(2x)sin(π/4) = (1/√2)cos(2x) + (1/√2)sin(2x)

Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

2cos^2(2x - π/4) - 2sin^2(π/4 - 2x) + 1 = 0 2(cos^2(2x) - sin^2(2x)) + 1/√2 cos(2x) - 1/√2 sin(2x) + 1 = 0 2cos(4x) + 1/√2 cos(2x) - 1/√2 sin(2x) + 1 = 0

Пусть t = cos(2x), тогда уравнение примет вид:

2t^2 + 1/√2 t - 1/√2 (1 - t) + 1 = 0 2t^2 + 1/√2 t + 1/√2 t - 1/√2 + 1 = 0 2t^2 + √2 t - √2 + 1 = 0

Далее применим формулу для квадратного уравнения:

t = (-√2 ± √6) / 4

Таким образом, корни уравнения соответствуют значениям t, то есть:

t1 = (-√2 - √6) / 4 t2 = (-√2 + √6) / 4

Чтобы найти корни исходного уравнения в интервале [π/2, 3π/2], необходимо решить неравенства:

cos(2x) ≥ (-√2 - √6) / 4 cos(2x) ≤ (-√2 + √6) / 4

Первое неравенство не имеет решений на заданном интервале, так как cos(2x) не может быть меньше -1.

Второе неравенство имеет решение, если:

cos(2x) ≤ (-√2 + √6) / 4

Решив это неравенство, получим:

x ∈ [π/4, 3π/4]

Таким образом, исходное уравнение имеет один корень на заданном интервале: x = π/2.