Question

У Васи и Пети по 20 гирь весом 1, 2, 3, ..., 20 кг. Они по очереди подкладывают по одной гире каждый на свою чашу весов, причем первым ходит Вася. Петя выигрывает, если после чьего - либо хода разность масс на чашах будет равна 14. Проигрывает, если такого не произошло, а гири у ребят закончились. Всегда ли Петя сможет выиграть?

Answer 1

Да, Петя выигрывает всегда.
В начальный момент разность весов равна 0 Если Вася кладет гирю веса х и 7≤x≤13, то Петя кладет гирю такого же веса. Т.е. разность весов опять равна 0.  
Если Вася положит гирю весом x=14, то он проиграл, т.к. разность весов была 0, а стала 14.

Как только Вася положит гирю с весом x≤6, то Петя кладет гирю весом x+14 и побеждает (т.к. при этом 15≤x+14≤20, то такая гиря у него обязательно есть, ведь до этого они брали гири только из диапазона 7,..,13). 

Аналогично, как только Вася положит гирю весом x≥15, то Петя кладет гирю весом x-14 и побеждает (т.к. при этом 1≤x-14≤6, то такая гиря у него обязательно есть, ведь до этого они брали гири только из диапазона 7,..,13).

Итак, самая длинная игра выглядит следующим образом: Вася вынужден брать гири только из диапазона 7,...,13, Петя при этом берет такие же гири, и разность весов все время 0. Это дает им возможность сделать максимум 7 ходов. 8-ым ходом Вася вынужден брать гирю не из этого диапазона, и либо сразу проигрывает, взяв гирю весом 14, либо проигрывает после хода Пети.

Answer 2

Да, Петя всегда сможет выиграть при правильной игре.

Заметим, что разность масс на чашах всегда является четным числом. Кроме того, сумма масс всех гирь равна 210, что также является четным числом. Это означает, что если Вася поставит гирю на одну из чаш весов, то Петя сможет поставить гирю на другую чашу так, чтобы разность масс на чашах оставалась четной.

Таким образом, стратегия Пети будет заключаться в том, чтобы всегда ставить гирю на ту чашу, на которой Вася поставил гирю, так чтобы разность масс на чашах оставалась четной. При этом, если Вася поставил гирю на чашу, которая уже содержит гирю, то Петя должен поставить гирю на другую чашу.

Петя будет следовать этой стратегии до тех пор, пока не достигнет разности масс на чашах, равной 14. Если Вася поставит гирю на чашу, которая приведет к такой разности масс, то Петя выиграет. В противном случае, если гири у ребят закончились, то ни один из них не выиграет.

Таким образом, Петя всегда сможет выиграть при правильной игре, используя описанную стратегию.