Question

Вычислить площадь фигуры ограниченную линиями  y==2x^2-4x, y=0

Answer 1

Площадь находим через интеграл. Сначала определим границы интегрирования

- 2x^2-4x=0
-2x(x+2)=0
x=0,  x=-2

$S= \int\limits^{0}_{-2} \, (-2x^2-4x)dx =(- \dfrac{2x^3}{3} -2x^2)\big|_{-2}^0=\dfrac{2\cdot(-2)^3}{3} +2\cdot(-2)^2= \frac{8}{3}$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой y = 2x^2 - 4x и осью OX (y = 0), нужно найти точки пересечения этих двух кривых и интегрировать функцию по оси OX между этими точками.

Для начала найдем точки пересечения кривой y = 2x^2 - 4x и оси OX, то есть, когда y равно нулю:

0 = 2x^2 - 4x

2x^2 - 4x = 0

2x(x - 2) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = 2.

Теперь мы можем интегрировать функцию y = 2x^2 - 4x по оси OX между этими точками:

S = ∫[0, 2] (2x^2 - 4x) dx

S = [x^3 - 2x^2] evaluated from 0 to 2

S = (2^3 - 2(2)^2) - (0^3 - 2(0)^2)

S = (8 - 8) - (0 - 0)

S = 0

Площадь фигуры, ограниченной кривой y = 2x^2 - 4x и осью OX, равна 0.