Question

Решите плиииз найдите площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2-x и у=-x^2+3x

Answer 1

$y=x^2-x\; ,\; \; y=-x^2+3x\\y=x(x-1)\; ,\; \; y=-x(x-3)\\\\x_1=0\; ,\; x_2=1\; ,\; x_3=x_1=0\; ,\; x_4=3\\\\Tochri\; peresecheniya:\; \; x^2-x=-x^2+3x\; ,\; 2x^2-4x=0\; ,\\\\2x(x-2)=0\; \; \to \; \; x_1=0\; ,\; \; x_2=2\\\\S= \int\limits^2_0\, (-x^2+3x-(x^2-x))\, dx= \int\limits^2_0\, (-2x^2+4x)\, dx=\\\\=(-2\cdot \frac{x^3}{3}+4\cdot \frac{x^2}{2})\Big |_0^2=-\frac{2}{3}\cdot 8+2\cdot 4= \frac{8}{3}$

Answer 2

Нам нужна площадь, выделенная на картинке фиолетовым цветом.
Площадь данной фигуры будет разность площадей под кривыми этих двух фигур, полученных интегрированием.
Интеграл от -x^2+3x на отрезке от 0 до 2 будет 3 целых и 1/3
Интеграл от -x^2+3x на отрезке от 0 до 2 будет 2/3
Площадь равна 3 и 1/3 - 2/3=8/3

Answer 3

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 - x и y = -x^2 + 3x, нам необходимо найти точки их пересечения. После этого мы можем вычислить площадь, используя определенный интеграл.

Сначала найдем точки пересечения графиков. Приравняем уравнения функций друг к другу:

x^2 - x = -x^2 + 3x

Перенесем все члены в одну сторону и получим:

2x^2 - 4x = 0

Факторизуем это уравнение:

2x(x - 2) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = 2.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, мы будем интегрировать разность между двумя функциями на интервале от x = 0 до x = 2:

Площадь = ∫[0, 2] (x^2 - x - (-x^2 + 3x)) dx

Раскроем скобки и упростим выражение:

Площадь = ∫[0, 2] (2x^2 - 4x) dx

Теперь проинтегрируем это выражение:

Площадь = [2/3x^3 - 2x^2] от 0 до 2

Вычислим значение площади, подставляя пределы интегрирования:

Площадь = (2/3(2)^3 - 2(2)^2) - (2/3(0)^3 - 2(0)^2) = (16/3 - 8) - (0 - 0) = (16/3 - 8) = 16/3 - 24/3 = -8/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 - x и y = -x^2 + 3x, равна -8/3 (отрицательное значение означает, что фигура находится ниже оси x и площадь считается со знаком "минус").