Question

Решить интеграл (sqrt((e^x)-1))dx

Answer 1

Получится вот так :))

Answer 2

Для решения данного интеграла используем замену переменных. Пусть u = e^x - 1. Тогда дифференциал переменной u равен du = e^x dx.

Чтобы выразить dx через du, возведем u + 1 в степень e. Получим (u + 1)^e = e^x.

Теперь подставим значения в исходный интеграл:

∫ sqrt(e^x - 1) dx = ∫ sqrt(u) * du/(e * (u + 1)^(e/2))

Мы получили новый интеграл с переменной u. Для его решения воспользуемся методом частичной интеграции.

Пусть f(u) = sqrt(u) и g'(u) = du/(e * (u + 1)^(e/2)). Тогда f'(u) = 1/(2 * sqrt(u)) и g(u) = -2/(e * (e/2 - 1) * (u + 1)^((e/2) - 1)).

Применим формулу частичной интеграции:

∫ f(u) * g'(u) du = f(u) * g(u) - ∫ f'(u) * g(u) du

Подставим значения:

∫ sqrt(u) * du/(e * (u + 1)^(e/2)) = sqrt(u) * (-2/(e * (e/2 - 1) * (u + 1)^((e/2) - 1))) - ∫ (1/(2 * sqrt(u))) * (-2/(e * (e/2 - 1) * (u + 1)^((e/2) - 1))) du

Упростим выражение:

= -2/(e * (e/2 - 1)) ∫ (sqrt(u) / (u + 1)^((e/2) - 1)) du + 1/(e * (e/2 - 1)) ∫ (1/sqrt(u)) / (u + 1)^((e/2) - 1) du

Первый интеграл может быть решен с использованием замены переменной, пусть v = u + 1:

= -2/(e * (e/2 - 1)) ∫ (sqrt(v - 1) / v^((e/2) - 1)) dv + 1/(e * (e/2 - 1)) ∫ (1/sqrt(u)) / (u + 1)^((e/2) - 1) du

Второй интеграл может быть решен с использованием формулы замены переменной, пусть w = sqrt(u):

= -2/(e * (e/2 - 1)) ∫ (sqrt(v - 1) / v^((e/2) - 1)) dv + 1/(e * (e/2 - 1)) ∫ (1/w^2) / (w^2 + 1)^((e/2) - 1) dw

Оставшиеся интегралы не имеют простых аналитических решений, поэ