Question

Докажите, что функция y= 4/x-2 убывает при x>2

Answer 1

Производная функции равна  $y'=- \dfrac{4}{(x-2)^2}$ что явно меньше нуля при всех х, кроме х=2. Поэтому функция убывает при  $x \in \mathbb{R}/\{2\}$

Answer 2

Для доказательства убывания функции $y = \frac{4}{x-2}$ при $x > 2$, мы можем проанализировать ее производную и показать, что она отрицательна на заданном интервале.

Для этого вычислим производную функции $y$ по переменной $x$: $y = \frac{4}{x-2}$ Применим правило дифференцирования для обратной функции: $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{u}\right) = -\frac{u'}{u^2}$ где $u = x-2$. Тогда: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x-2}\right) = -\frac{4}{(x-2)^2}$

Теперь докажем, что производная отрицательна при $x > 2$. Для этого проверим знак производной на этом интервале: $-\frac{4}{(x-2)^2} < 0$

Заметим, что знаменатель $(x-2)^2$ всегда положительный, так как квадрат любого числа неотрицателен. Таким образом, нам остается проверить только числитель $-4$, чтобы убедиться, что производная отрицательна на интервале $x > 2$.

Поскольку $-4$ отрицательное число, мы можем заключить, что $\frac{dy}{dx} < 0$ при $x > 2$. Это означает, что функция $y = \frac{4}{x-2}$ убывает при $x > 2$.

Таким образом, мы доказали, что функция $y = \frac{4}{x-2}$ убывает при $x > 2$.