Question

Решите 2cosx+cos2x=2sinx

Answer 1

Решение
2cosx+cos2x=2sinx
2cosx+(2cos²x-1)-2sinx=0
2cosx+2cos²x-(sin²x+cos²x)-2sinx=0
2cosx+2cos²x-sin²x-cos²x-2sinx=0
cos^2x+2cosx-sin²x-2sinx=0
Произведём группировку:
cos²x-sin²x+2cosx-2sinx=0
(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2(cosx-sinx)=0
выносим общий множитель. за скобки
(cosx-sinx)(cosx+sinx+2)=0
Решаем по отдельности каждое уравнение: 
1) cosx-sinx=0   / делим на cosx≠0
1-tgx=0
tgx=1
x=π/4+πk, k ∈Z
2) cosx+sinx= - 2
√2(1/√2*cosx+1/√2*sinx)= - 2
sin(π/4)cosx+cos(π/4)*sinx= -2/√2
sin(π/4+x)= -√2
-√2=1,41
нет решений, , так как  x∈[-1;1]
Ответ: : π/4+πk, k ∈Z

 

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Уравнение, которое мы хотим решить, выглядит следующим образом: 2cos(x) + cos(2x) = 2sin(x)

Давайте начнем с того, чтобы привести уравнение к более простому виду. Мы можем использовать формулу для косинуса удвоенного угла, чтобы переписать cos(2x) в виде выражения с использованием только cos(x):

2cos(x) + 2cos^2(x) - 1 = 2sin(x)

Теперь мы можем сгруппировать все члены с cos(x) и sin(x) в одну сторону уравнения:

2cos(x) + 2cos^2(x) - 1 - 2sin(x) = 0

Теперь давайте преобразуем это уравнение в квадратное уравнение относительно cos(x). Заметим, что у нас есть два члена с cos(x), поэтому мы можем записать это уравнение как:

2cos^2(x) + 2cos(x) - 2sin(x) - 1 = 0

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем применить квадратное уравнение общего вида:

ax^2 + bx + c = 0

В нашем случае, a = 2, b = 2, и c = -2sin(x) - 1.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Подставим значения a, b и c в эту формулу:

x = (-(2) ± √((2)^2 - 4(2)(-2sin(x) - 1))) / (2(2))

x = (-2 ± √(4 + 16sin(x) + 8)) / 4

x = (-2 ± √(12 + 16sin(x))) / 4

Теперь у нас есть два возможных значения для x. Мы можем разделить это на два уравнения:

x = (-2 + √(12 + 16sin(x))) / 4

и

x = (-2 - √(12 + 16sin(x))) / 4

Эти уравнения представляют два возможных значения для x, которые удовлетворяют исходному уравнению 2cos(x) + cos(2x) = 2sin(x).

Обратите внимание, что решение этого уравнения может быть достаточно сложным и может требовать применения дополнительных методов, таких как графическое представление или численные методы, чтобы найти численные значения x. Кроме того, решение этого уравнения может иметь бесконечное количество корней в зависимости от значения sin(x).