Question

Число 10 разложите на два слагаемых так,чтобы сумма их кубов была наименьшей

Answer 1

Первое число обозначим х, тогда второе 10 - х. Сумма кубов:

y = x^3 + (10-x)^3 = x^3 + 1000 - 300x + 30x^2 - x^3 = 30x^2 - 300x + 1000

Минимальной эта сумма будет тогда, когда производная равна 0. Так как первый коэффициент параболы положительный, то ветви направлены вверх, а значит, вершина - это минимум.

y ' = 60x - 300 = 0

60x = 300; x = 300/60 = 5; 10-x = 5.

Сумма кубов будет наименьшей, когда числа равны друг другу и равны 5.

Answer 2

x - первое число ; ( 10 -x ) - второе ,  y =  x³ + (10 -x )³ - сумма кубов

x ∈ [0 ;10 ] ; y ' = 3x² - 3 (10 -x )² = 3 ( x-10 +x )· (x + 10 -x ) = 60·(x-5)  

y ' = 0 ⇔ x = 5 ,  при переходе через точку 5 производная

меняет свой знак с  -  на  +  ⇒  5 -точка минимума функции  и

так как она единственная точка минимума на отрезке [0 ;10]

(слева  от точки  5 функция убывает , а справа возрастает ) , 

то в этой точке  функция достигает наименьшее значение  ⇒

сумма кубов наименьшая ,  если числа равны  5

Ответ : оба слагаемые равны 5

Answer 3

Для того чтобы разложить число 10 на два слагаемых таким образом, чтобы сумма их кубов была наименьшей, мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Давайте найдем минимум функции, где x и y являются нашими слагаемыми:

f(x, y) = x^3 + y^3

Нам необходимо найти точку экстремума, где градиент функции равен нулю:

∇f(x, y) = 0

Чтобы найти такую точку, возьмем частные производные функции f(x, y) по переменным x и y:

∂f/∂x = 3x^2 ∂f/∂y = 3y^2

Приравняем оба выражения к нулю и решим систему уравнений:

3x^2 = 0 3y^2 = 0

Из первого уравнения получаем x = 0, а из второго уравнения получаем y = 0.

Таким образом, наименьшая сумма кубов будет достигаться при x = 0 и y = 0. Это означает, что число 10 разлагается на два слагаемых равных нулю:

10 = 0 + 0

Сумма кубов этих слагаемых будет также равна нулю:

0^3 + 0^3 = 0 + 0 = 0

Таким образом, наименьшая сумма кубов получается, когда оба слагаемых равны нулю.