Question

Постройте график функции у=х²- 2х - 3. с помощью графика найдите : а) промежутки возрастания и убывания функции. б) наименьшее значение функции при каких значениях х у > 0.

Answer 1

Дана функция у= х²- 2х - 3.

График её - парабола ветвями вверх.

Находим её вершину: хо = -в/2а = 2/(2*1) = 1.

уо = 1 - 2 - 3 = -4.

В точке (1; -4) находится минимум функции.

а) промежутки возрастания и убывания функции:

убывает х ∈ (-∞; 1),

возрастает х ∈ (1; +∞).

б) наименьшее значение функции: в точке (1; -4) находится минимум функции уmin = -4.

в) при каких значениях х у > 0.

Для этого надо найти точки пересечения графиком оси Ох

(при этом у = 0).

х²- 2х - 3 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:

Ищем дискриминант:

D=(-2)^2-4*1*(-3)=4-4*(-3)=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√16-(-2))/(2*1)=(4-(-2))/2=(4+2)/2=6/2=3;

x_2=(-√16-(-2))/(2*1)=(-4-(-2))/2=(-4+2)/2=-2/2=-1.

Функция (то есть у) больше 0 при х ∈ (-∞; -1) ∪ (3; +∞)

Answer 2

Чтобы построить график функции y = x² - 2x - 3, мы можем использовать информацию о вершинах параболы, направлении выпуклости и особых точках.

Сначала найдем вершину параболы, которая имеет координаты (h, k), где h = -b/(2a) и k = f(h). В данном случае у нас a = 1, b = -2, и c = -3.

h = -(-2)/(21) = 2/(21) = 1 k = (1)² - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4

Таким образом, вершина параболы находится в точке (1, -4).

Теперь рассмотрим направление выпуклости параболы. Поскольку коэффициент при x² положительный (a = 1), парабола будет направлена вверх, что означает, что функция возрастает до вершины и убывает после вершины.

Теперь построим график функции:

markdownCopy code
   ^
   |
 4 |             *
   |
 3 |          *  
   |
 2 |      * 
   |
 1 |  *   
   |
 0 |_____________________________________
  -2   -1   0   1   2   3   4   5   6   7   x

Теперь ответим на вопросы:

а) Промежутки возрастания и убывания функции:

• Функция возрастает на интервалах (-∞, 1) и (1, +∞).
• Функция убывает на интервале (1, +∞).

б) Наименьшее значение функции при каких значениях x y > 0: Из графика видно, что наименьшее значение функции y > 0 равно -4 и достигается при x = 1.

Таким образом, промежутки возрастания и убывания функции: (-∞, 1) и (1, +∞), наименьшее значение функции при x = 1, y > 0.