Question

При подготовке к зачёту студент выучил 60 из необходимых 90 вопросов. Какова вероятность того, он сдаст зачёт, если для этого нужно ответить не менее чем на два из трёх предложенных вопросов?

Answer 1

В данном случае есть два варианта развития событий:

1) Студенту попадается два вопроса из трех, которые он знает, и он сдает зачет.

2) Студенту попадается три вопроса из трех, которые он знает, и он сдает зачет.

В первом случае так же есть несколько вариантов развития событий:

A) Студент знает ответ на первый вопрос и на второй вопрос, на третий не знает. Вероятность такого развития событий равна Р(A) = 60/90 * 59/89 * 30/88 = 295/1958

B) Студент знает ответ на первый вопрос и на третий вопрос, на второй не знает. Вероятность такого развития событий равна Р(B) = 60/90 * 30/89 * 59/88 = 295/1958

C) Студент знает ответ на второй вопрос и на третий вопрос, на первый не знает. Вероятность такого развития событий равна Р(C) = 30/90 * 60/89 * 59/88 = 295/1958

Тогда, учитывая несовместность событий A, B и C, получаем искомую  вероятность получения зачета студентом в случае предложения двух выученных вопросов, при условии, что третий вопрос не выучен:

P(1) = P(A) + P(B) + P(C) = 295/1958 + 295/1958 + 295/1958  = 295/1958 * 3 = 885/1958

Во втором случае лишь один вариант развития событий: студент знает все три вопроса.

Тогда P(2) = 60/90 * 59/89 * 58/88 = 1711/5874

Снова же, учитывая несовместность событий 1 и 2, получаем искомую  вероятность получения зачета студентом в случае предложения не менее двух выученных вопросов:

P = P(1)+P(2) = 885/1958 + 1711/5874 = 2183/2937

Ответ: 2183/2937

*2183/2937 ≈ 0,74

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся биномиальным распределением.

У нас есть 60 изученных вопросов из общего количества вопросов, равного 90. Вероятность ответить правильно на вопрос, который студент не знает, равна 1/3, так как для сдачи зачёта нужно ответить правильно на два из трёх предложенных вопросов.

Теперь рассмотрим несколько случаев:

1. Студенту предлагаются 3 вопроса, которые он не знает. Вероятность ответить правильно на два из трёх таких вопросов равна (1/3)^2 * (2/3) = 2/27.
2. Студенту предлагаются 2 вопроса, которые он не знает, и 1 вопрос, который он знает. Вероятность ответить правильно на два из трёх таких вопросов равна (1/3)^2 * (2/3) + (2/3)^2 * (1/3) = 10/27.
3. Студенту предлагаются 1 вопрос, который он не знает, и 2 вопроса, которые он знает. Вероятность ответить правильно на два из трёх таких вопросов также равна 10/27.
4. Студенту предлагаются 3 вопроса, которые он знает. Вероятность ответить правильно на два из трёх таких вопросов равна (2/3)^2 * (1/3) = 4/27.

Общая вероятность успешной сдачи зачёта равна сумме вероятностей всех случаев, когда студент отвечает правильно на два из трёх предложенных вопросов:

(2/27) + (10/27) + (10/27) + (4/27) = 26/27.

Таким образом, вероятность того, что студент сдаст зачёт, равна 26/27.