Question

1) Найти значение производной сложной функции y=(5x+4)^4 в точке x=1 2) Найти точки перегиба функции f(x)=6x^2-x^3

Answer 1

1)y`=4(5x+4)³*5=20(5x+4)³
y`(1)=20*(5+4)=20*9=180
2)f`(x)=12x-3x²
f``(x)=12-6x=0
x=12/6=2
y(2)=6*4-8=24-8=16
(2;16) точка перегиба

Answer 2

1. Чтобы найти значение производной сложной функции, нужно использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule). Для функции y=(5x+4)^4 применим это правило:

Сначала найдем производную внешней функции, возводящей в степень 4: dy/dx = 4(5x+4)^3

Затем найдем производную внутренней функции, 5x+4: d(5x+4)/dx = 5

Теперь можем найти производную сложной функции, умножив производную внешней функции на производную внутренней функции: dy/dx = 4(5x+4)^3 * 5

Теперь подставим x=1, чтобы найти значение производной в точке x=1: dy/dx = 4(5*1+4)^3 * 5 = 4(9)^3 * 5 = 4(729) * 5 = 29160

Таким образом, значение производной сложной функции y=(5x+4)^4 в точке x=1 равно 29160.

2. Чтобы найти точки перегиба функции f(x)=6x^2-x^3, нужно найти значения x, при которых меняется выпуклость (знак второй производной).

Сначала найдем первую производную функции f(x): f'(x) = 12x - 3x^2

Затем найдем вторую производную: f''(x) = 12 - 6x

Точки перегиба соответствуют значениям x, при которых f''(x) = 0. Решим уравнение:

12 - 6x = 0

6x = 12

x = 12/6

x = 2

Таким образом, точка перегиба функции f(x)=6x^2-x^3 находится при x = 2.