Question

При каких значениях параметра а уравнение (√x – a)(3x^2+ x - 2) = 0 имеет единственное решение?

Answer 1

ОДЗ: x≥0
Произведение двух чисел равно нулю, если одно из двух чисел равно нулю. Прорешаем уравнение относительно второго множителя.

3x²+x-2=0
D=1+24=25
x₁=(-1+5)/6=2/3
x₂=(-1-5)/6=-1 (не подходит для ОДЗ)

Значит один корень будет в любом случае, независимо от параметра. Теперь разберемся с первым множителем уравнения, где находится параметр.
Если его значение будет нулем при найденнем выше корне, то и все уравнение будет иметь лишь один корень. Следовательно:

√(2/3)-a=0
a=√(2/3)

Но это еще не все. Если превратим первый множитель в вечно положительное число, т.е. (√x - a)>0, то такого решения, где оно равно нулю - не найдется. √x итак вечно положителен. Таким образом (-a) больше нуля
-a>0
a<0

Так-же при a=0, x=0, так же единственный корень.

Ответ: a∈(-∞;0]U{√(2/3)}

Answer 2

Данное уравнение имеет единственное решение в случае, когда выражение в скобках равно нулю. Рассмотрим каждый из двух множителей отдельно:

1. (√x - a) = 0

Для этого множителя, чтобы он равнялся нулю, должно выполняться условие:

√x = a

То есть, значение параметра "а" должно быть равно квадратному корню из "x".

2. (3x^2 + x - 2) = 0

Для этого квадратного уравнения, чтобы иметь единственное решение, дискриминант должен быть равен нулю:

D = b^2 - 4ac

Где a = 3, b = 1 и c = -2. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (1)^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25

D = 25

Так как дискриминант больше нуля, у квадратного уравнения есть два различных корня.

Таким образом, чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо выполнение двух условий:

1. √x = a
2. Дискриминант квадратного уравнения (3x^2 + x - 2) равен нулю.

Пожалуйста, уточните, если требуется более подробное рассмотрение данного вопроса.