Question

Докажите что число 11^8-11^6 кратно 24 и 60

Answer 1

11⁸-11⁶=11⁶*(11²-1)=11⁶*(121-1)=120*11⁶.

120*11⁶:60=2*11⁶.

120*11⁶:24=5*11⁶.

Answer 2

Чтобы доказать, что число $11^8 - 11^6$ кратно 24 и 60, мы можем разложить это число на множители и проверить его делимость на 24 и 60.

Сначала разложим число $11^8 - 11^6$ на множители:

$11^8 - 11^6 = (11^6)(11^2) - (11^6) = (11^6)((11^2) - 1) = (11^6)(121 - 1)$

Затем упростим $121 - 1$ и получим:

$11^8 - 11^6 = (11^6)(120)$

Теперь докажем, что $11^8 - 11^6$ кратно 24 и 60.

1. Делимость на 24: Чтобы число было кратным 24, оно должно быть кратным 8 и 3. Мы уже видим, что $11^8 - 11^6$ кратно $11^6$, а значит, оно кратно 8. Чтобы доказать, что оно также кратно 3, рассмотрим остаток от деления $11^6$ на 3. Заметим, что $11^6 = (10 + 1)^6$, и по формуле бинома Ньютона мы можем раскрыть это выражение:

$11^6 = \binom{6}{0}10^6 + \binom{6}{1}10^5 + \binom{6}{2}10^4 + \binom{6}{3}10^3 + \binom{6}{4}10^2 + \binom{6}{5}10^1 + \binom{6}{6}10^0$

Все слагаемые, кроме первого и последнего, делятся на 3, так как они содержат множитель $\binom{6}{k}$, где $k$ принимает значения от 1 до 5. Первое слагаемое делится на 3, так как $10^6$ делится на 3 по свойству остатка от деления. Последнее слагаемое также делится на 3, так как оно равно 1. Таким образом, все слагаемые в сумме $11^6$ делятся на 3, а следовательно, $11^6$ само кратно 3. Таким образом, $11^8 - 11^6$ кратно 8 и 3, а значит, оно кратно 24.

2. Делимость на 60: Чтобы число было кратным 60, оно должно быть кратным 4, 3 и 5. Мы уже видели, что $11^8 - 11^6$ кратно 8 и 3. Осталось доказать, что оно кратно 5. Заметим, что (11^8 - 11^6 = (