Question

Решите неравенство 2cos ( 2x + пи/3) меньше или равно 1 с единичной окружностью

Answer 1

1) 5sin^2x+ 6 cos x - 6= 0
5(1-cos^2x) + 6cosx - 6 = 0
5 - 5cos^2x + 6cosx - 6 = 0
-5cos^2x + 6cosx - 1 = 0
пусть cosx - y тогда
-5y^2 + 6y - 1 = 0
D = 36 - 4 *(-5)*(-1) = 16
y= 1 ; y= 1/5 значит
cosx = 1 cosx = 1/5
x = 2пk, x = +-arccos 1/5 + 2пk
Ответ: +-arccos 1/5 + 2пk; 2пk.

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, мы сначала выразим его в виде неравенства синуса. Затем мы будем использовать график единичной окружности, чтобы определить значения x, удовлетворяющие неравенству.

Начнем с выражения неравенства в виде неравенства синуса:

2cos(2x + π/3) ≤ 1

Теперь делим обе части неравенства на 2:

cos(2x + π/3) ≤ 1/2

Затем воспользуемся формулой двойного аргумента для косинуса:

cos(2x + π/3) = cos(2x)cos(π/3) - sin(2x)sin(π/3)

Подставляем значения косинуса и синуса π/3:

cos(2x + π/3) = cos(2x)(1/2) - sin(2x)(√3/2)

Теперь заменяем cos(2x) и sin(2x) на значения косинуса и синуса через x:

(1/2)cos^2(x) - (√3/2)sin(x)cos(x) ≤ 1/2

Перепишем это неравенство в виде уравнения:

cos^2(x) - √3sin(x)cos(x) - 1 ≤ 0

Теперь воспользуемся графиком единичной окружности, чтобы найти значения x, при которых это неравенство выполняется.

На единичной окружности cos(x) - это координата x точки на окружности, а sin(x) - это координата y.

Уравнение cos^2(x) - √3sin(x)cos(x) - 1 ≤ 0 можно переписать так:

x^2 - √3yx - 1 ≤ 0

Теперь решим это уравнение, используя график единичной окружности:

1. Найдем точки, в которых функция равна нулю. x^2 - √3yx - 1 = 0

   Решая это квадратное уравнение, получим два значения x:

   x ≈ -1.366 и x ≈ 0.366

2. Рассмотрим интервалы между этими точками: -∞ < x < -1.366, -1.366 < x < 0.366, 0.366 < x < +∞

3. Определяем знак на каждом интервале: -∞ < x < -1.366: отрицательный -1.366 < x < 0.366: положительный 0.366 < x < +∞: отрицательный

Теперь мы знаем, что уравнение x^2 - √3yx - 1 ≤ 0