Question

Докажите, что при любом натуральном n: 10^n-1 кратно 9

Answer 1

 10 в степени п-это число,состоящее из1 и любого количества нулей. Если из него вычесть1, то получится число, состоящее только из девяток, а оно : на9.

Answer 2

Доказательство можно провести с использованием математической индукции.

Шаг базы: При n = 1: 10^1 - 1 = 10 - 1 = 9, что является кратным 9.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть 10^k - 1 кратно 9.

Докажем, что утверждение также верно для k + 1: 10^(k+1) - 1 = 10 * 10^k - 1 = (9 + 1) * 10^k - 1 = 9 * 10^k + 10^k - 1.

Первое слагаемое 9 * 10^k является кратным 9 в силу предположения индукции. Второе слагаемое 10^k - 1 также кратно 9 по предположению индукции. Таким образом, их сумма (9 * 10^k + 10^k - 1) также будет кратна 9.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для некоторого числа k, то оно также верно для k + 1. Исходя из шага базы, мы можем заключить, что утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, доказано, что при любом натуральном n число 10^n - 1 кратно 9.