Question

Диагонали четырёхугольника , вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке М . Известно, что угол АВС = 72°, угол ВСД= 102°, угол АМД = 110°. Найдите угол АСД .

Answer 1

Решение на картинке
Ответ:53

Answer 2

Чтобы найти угол АСД, можно воспользоваться свойством пересекающихся хорд в окружности.

Первым шагом найдем угол ВМД, используя информацию о центральном угле АМД. Так как угол АМД равен 110°, угол ВМД будет половиной этого значения, то есть 110°/2 = 55°.

Далее, воспользуемся свойством пересекающихся хорд, согласно которому произведение длин отрезков каждой хорды равно. Обозначим длины отрезков следующим образом: AM = a BM = b CM = c DM = d

У нас есть две хорды: AC и BD. Таким образом, имеем следующее равенство: AM * CM = BM * DM

Заметим, что BM и DM равны, так как это диагонали четырёхугольника, пересекающиеся в точке М. Также, AM и CM — это длины отрезков, которые можно выразить через углы АВС и ВСД, соответственно, с использованием формулы для длины хорды в окружности: AM = 2 * R * sin(72°/2) = 2 * R * sin(36°), CM = 2 * R * sin(102°/2) = 2 * R * sin(51°).

Теперь мы можем записать равенство: 2 * R * sin(36°) * 2 * R * sin(51°) = b * b.

Выразим b в терминах R: b * b = 4 * R^2 * sin(36°) * sin(51°), b = 2 * R * sqrt(sin(36°) * sin(51°)).

Аналогично, найдем d: d = 2 * R * sqrt(sin(36°) * sin(51°)).

Теперь рассмотрим треугольник BSD. Мы знаем угол ВСД (102°) и угол ВМД (55°), поэтому можем найти угол МСД: Угол МСД = 180° - угол ВМД - угол ВСД = 180° - 55° - 102° = 23°.

Наконец, найдем угол АСД: Угол АСД = угол АМД - угол МСД = 110° - 23° = 87°.

Таким образом, угол АСД равен 87°.