Question

Решите неравенство f'(x)⩽0 f(x) = x^4 - 2 x^3 + 3

Answer 1

F'(x)=( x^4 - 2 x^3 + 3)'
f'(x)=4x³-2*3x²=4x³-6x²
4x³-6x²≤0
4x²(x-1.5)≤0
x≤1.5
x∈(-∞; 1.5]

Answer 2

Для решения неравенства f'(x) ≤ 0, где f(x) = x^4 - 2x^3 + 3, мы сначала найдем производную функции f(x) и затем решим соответствующее неравенство.

Производная функции f(x) будет равна: f'(x) = 4x^3 - 6x^2.

Теперь решим неравенство f'(x) ≤ 0:

4x^3 - 6x^2 ≤ 0.

Чтобы решить это неравенство, сначала найдем его критические точки, то есть значения x, при которых левая часть равна нулю. Функция f'(x) является многочленом третьей степени, поэтому у нее могут быть максимум три критические точки.

Установим f'(x) = 0 и решим уравнение: 4x^3 - 6x^2 = 0.

Вынесем общий множитель: 2x^2(2x - 3) = 0.

Теперь у нас есть два множителя, равные нулю: 2x^2 = 0 => x = 0, 2x - 3 = 0 => x = 3/2.

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 3/2.

Чтобы проверить значения между критическими точками и за пределами, возьмем тестовые значения:

• Берем x = -1: f'(-1) = 4(-1)^3 - 6(-1)^2 = -4 - 6 = -10 (меньше нуля).

• Берем x = 1: f'(1) = 4(1)^3 - 6(1)^2 = 4 - 6 = -2 (меньше нуля).

• Берем x = 2: f'(2) = 4(2)^3 - 6(2)^2 = 32 - 24 = 8 (больше нуля).

Теперь мы можем составить интервалы, где f'(x) меньше или равно нулю:

(-∞, 0] ∪ [3/2, +∞).

Итак, решение неравенства f'(x) ≤ 0 для функции f(x) = x^4 - 2x^3 + 3 - это интервал (-∞, 0] ∪ [3/2, +∞).