Question

Найти y'(0), если y(x)=(x+3)cos2x

Answer 1

Y' (x) = (x + 3)' · cos2x + (x + 3) · (cos2x)' =
= 1 · cos2x + (x + 3) · (- 2sin2x) = cos2x - 2sin2x · (x + 3)
y' (0) = cos 0 - 2sin 0 · 3 = 1 - 0 = 1

Answer 2

Для нахождения производной функции y(x), можно использовать правило производной произведения двух функций. Поэтому нам понадобятся производные от функций (x+3) и cos(2x).

Производная функции (x+3) равна 1.

Производная функции cos(2x) можно найти с помощью цепного правила дифференцирования. Правило гласит: производная функции cos(u) равна минус синус u, умноженный на производную функции u. В данном случае u = 2x, поэтому производная cos(2x) равна -sin(2x) * 2.

Теперь мы можем найти производную функции y(x) и подставить x = 0, чтобы найти y'(0).

y'(x) = (x+3)' * cos(2x) + (x+3) * cos(2x)' = 1 * cos(2x) + (x+3) * (-sin(2x) * 2) = cos(2x) - 2(x+3)sin(2x)

Подставляем x = 0:

y'(0) = cos(20) - 2(0+3)sin(20) = cos(0) - 2(0+3)sin(0) = 1 - 2(0+3)0 = 1 - 20 = 1

Таким образом, y'(0) = 1.