Question

Найдите tg^3a+ctg^3a, если tga+ctgа=p

Answer 1

У меня получилось так. Ответ  желательно бы знать.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Известно, что: tga + ctga = p

Возводим это равенство в куб: (tga + ctga)^3 = p^3

Применим формулу для куба суммы двух слагаемых: (tga + ctga)^3 = tga^3 + 3tga^2ctga + 3tgactga^2 + ctga^3

Заметим, что первое и последнее слагаемые в правой части являются кубами тангенса и котангенса: tga^3 + ctga^3

А второе и третье слагаемые в правой части являются произведениями тангенса и котангенса: 3tga^2ctga + 3tgactga^2 = 3(tga^2ctga + tgactga^2)

Заметим, что: tga^2ctga + tgactga^2 = (tga*ctga)(tga + ctga)

Используя тождество tgactga = 1, получим: (tgactga)(tga + ctga) = 1*(tga + ctga) = tga + ctga

Теперь вернемся к исходному уравнению: (tga + ctga)^3 = p^3

Подставим полученные выражения для куба суммы и произведения: (tga^3 + ctga^3) + 3(tga^2ctga + tgactga^2) = p^3

Теперь можем выразить tga^3 + ctga^3: tga^3 + ctga^3 = p^3 - 3(tga^2ctga + tgactga^2)

Таким образом, tg^3a + ctg^3a равно p^3 - 3(tga^2ctga + tgactga^2).