Question

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы y=3x*(в кубе)+x*(в квадрате)

Answer 1

Ответ:

возрастает на (-∞;-2/9)∪(-2/9;0)∪(0;+∞); y=0 - наименьшее, y=28/729 - наибольшее

Объяснение:

Функция возрастает (убывает), когда производная положительна (отрицательна). Точки экстремумов - точки, в которых производная обращается в 0 и, проходя через которые, меняет свой знак: если точка максимума, то с "+" на "-", если минимума - с "-" на "+".

Найдём производную: f'(x)=9x^2+2x

Приравняем к 0: 9x^2+2x=0

x=0, x=-2/9

При x<-2/9 производная положительна (значит функция возрастает), при -2/9<x<0 производная положительна (значит функция тоже возрастает, и при этом x=-2/9 - НЕ точка экстремума), при x>0 производная тоже положительна, значит функция возрастает на D(y)

При x=-2/9: -8/729 + 4/81 = 28/729

При x=0: y=0

Answer 2

Для исследования функции на монотонность и экстремумы, нам понадобится проанализировать ее первую и вторую производные. Давайте начнем с вычисления первой производной функции y = 3x^3 + x^2:

y = 3x^3 + x^2

Первая производная (dy/dx) позволяет нам определить монотонность функции и местоположение экстремумов. Давайте вычислим первую производную:

dy/dx = d(3x^3 + x^2)/dx = 9x^2 + 2x

Теперь мы можем проанализировать эту производную, чтобы определить монотонность функции и местоположение ее экстремумов.

1. Монотонность функции: Для определения интервалов, на которых функция возрастает или убывает, мы должны найти значения x, при которых dy/dx = 0, и анализировать знаки производной в этих точках.

   9x^2 + 2x = 0

   Факторизуем это уравнение:

   x(9x + 2) = 0

   Получаем два значения x: x = 0 и x = -2/9.

   Теперь рассмотрим знаки производной на интервалах (-∞, -2/9), (-2/9, 0) и (0, +∞):

   Подставим x = -1 в dy/dx: dy/dx = 9(-1)^2 + 2(-1) = 7 Значит, на интервале (-∞, -2/9) функция возрастает.

   Подставим x = -1/3 в dy/dx: dy/dx = 9(-1/3)^2 + 2(-1/3) = -1 Значит, на интервале (-2/9, 0) функция убывает.

   Подставим x = 1 в dy/dx: dy/dx = 9(1)^2 + 2(1) = 11 Значит, на интервале (0, +∞) функция возрастает.

   Итак, функция y = 3x^3 + x^2 возрастает на интервалах (-∞, -2/9) и (0, +∞), а убывает на интервале (-2/9, 0).

2. Экстремумы функции: Для определения экстремумов, мы ищем точки, в которых производная равна нулю или не определена. Мы уже нашли точку x = -2/9, где производная равна нулю.

   Подставим x = -2/9 в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y:

   y = 3