Question

Помогите пожалуйста))решите уравнение 2log4x(x^3)=5log2x(x)

Answer 1

///////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Давайте решим это уравнение по порядку.

Уравнение: 2log₄x(x³) = 5log₂x(x)

Для начала, воспользуемся свойствами логарифмов:

1. logₐbⁿ = n * logₐb
2. logₐa = 1

Применим свойство 1 к обоим логарифмам в уравнении:

2 * log₄x + 2 * log₄(x³) = 5 * log₂x + 5 * log₂x

Упростим выражение:

2 * log₄x + 2 * 3 * log₄x = 5 * log₂x + 5 * log₂x

2 * log₄x + 6 * log₄x = 10 * log₂x

Перепишем логарифмы с общим основанием (4 и 2) в виде логарифма с основанием 2:

2 * (log₂x / log₂4) + 6 * (log₂x / log₂4) = 10 * log₂x

Для дальнейшего упрощения, заметим, что log₂4 = log₄16 = 2:

2 * (log₂x / 2) + 6 * (log₂x / 2) = 10 * log₂x

Упростим дроби:

log₂x + 3 * log₂x = 10 * log₂x

Складываем логарифмы:

4 * log₂x = 10 * log₂x

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: log₂x ≠ 0

Если log₂x ≠ 0, то можно сократить его с обеих сторон уравнения:

4 = 10

Уравнение не имеет решений.

Случай 2: log₂x = 0

Если log₂x = 0, то x = 2⁰ = 1.

Проверим это решение, подставив x = 1 в исходное уравнение:

2 * log₄1(1³) = 5 * log₂1(1)

Упрощаем:

2 * log₄1(1) = 5 * log₂1(1)

2 * 0 = 5 * 0

0 = 0

Получили верное равенство.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение: x = 1.