Question

При каких значениях параметра p неравенство p*x в квадрате+ (2p+1)x- (2-p) меньше 0 верно  при всех значениях x?

Answer 1

D<0 , p<0 
D=(2p+1)^2+4p(2-p)=4p^2+4p+1+8p-4p^2=12p+1 
12p+1<0 
p<-1/12 
p (-∞;-1/12) 
если p=0 -2<0 верно при всех значениях

Answer 2

Чтобы неравенство px^2 + (2p+1)x - (2-p) < 0 выполнялось для всех значений x, мы можем рассмотреть условия, при которых квадратное уравнение px^2 + (2p+1)x - (2-p) = 0 имеет два корня с разных сторон от вертикальной оси симметрии. Это произойдет, когда дискриминант этого уравнения будет отрицательным.

Дискриминант квадратного уравнения равен D = (2p+1)^2 - 4p(2-p).

Чтобы дискриминант был отрицательным, необходимо, чтобы выражение D < 0. Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

(2p+1)^2 - 4p(2-p) < 0 4p^2 + 4p + 1 - 8p + 4p^2 < 0 8p^2 - 4p + 1 < 0

Теперь мы можем решить это неравенство с помощью методов алгебры. Один из способов - использовать квадратное уравнение для определения его корней. Однако в данном случае мы можем использовать альтернативный метод.

Неравенство 8p^2 - 4p + 1 < 0 эквивалентно неравенству 8p^2 - 4p < -1.

Мы знаем, что у параболы, заданной квадратным уравнением, ветви направлены вверх, если коэффициент при x^2 положителен (как в данном случае с 8), и ветви направлены вниз, если этот коэффициент отрицателен.

Поскольку у нашей параболы ветви направлены вверх, неравенство 8p^2 - 4p < -1 выполняется в интервале между ее корнями.

Чтобы найти корни квадратного уравнения 8p^2 - 4p + 1 = 0, мы можем использовать формулу дискриминанта и формулу корней:

p = (-b ± √D) / (2a),

где a = 8, b = -4 и D = (-4)^2 - 4(8)(1).

D = 16 - 32 = -16.

Так как дискриминант D < 0, у нас нет действительных корней, и следовательно, парабола не пересекает ось x. Это означает, что неравенство 8p^2 - 4p < -1 вып