Question

Людииии, как решать ? При каком значении a система имеет единственное решение ? Y-X=3 (X-2)^2+(y-a)^2=2

Answer 1

$\left \{ {{y-x=3,(1)} \atop {(x-2)^2+(y-a)^2=2.(2)}} \right.$ Из (1) выразим y=x+3 и подставим в (2): (х-2)²+(х+3-а)²=2, х²-4х+4+х²+2(3-а)х+(3-а)²-2=0, 2х²-4х+(6-2а)х+4+9-6а+а²-2=0, 2х²+(6-4-2а)х+а²-6а+11=0, 2х²+(2-2а)х+а²-6а+11=0, Д=(2-2а)²-4*2*(а²-6а+11)=4-8а+4а²-8а²+48а-88=-4а²+40а-84. Уравнение будет иметь один корень, если Д=0: -4а²+40а-84=0, а²-10а+21=0, по теореме Виета а₁=3, а₂=7. Значит система будет иметь единственное решение при а=3 или а=7. Ответ: а₁=3, а₂=7.

Answer 2

Для решения этой системы уравнений, начнем с подстановки значения Y = X + 3 во второе уравнение:

(X - 2)^2 + (X + 3 - a)^2 = 2

Раскроем скобки и упростим выражение:

X^2 - 4X + 4 + X^2 + 6X - 6a + 9 = 2

2X^2 + 2X - 6a + 13 = 2

2X^2 + 2X - 6a + 11 = 0

Теперь нам нужно найти значение a, при котором эта квадратное уравнение имеет единственное решение. Для этого воспользуемся дискриминантом квадратного уравнения.

Дискриминант D для уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 определяется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае:

D = (2)^2 - 4(2)(-6a + 11) D = 4 + 48a - 88 D = 48a - 84

Чтобы уравнение имело единственное решение, дискриминант D должен быть равен нулю: D = 0.

48a - 84 = 0

48a = 84

a = 84 / 48

a = 7 / 4

При значении a = 7/4 (или 1.75), система имеет единственное решение.