Question

Решите неравенства log 1/3 (2x +5)>log 3/1(x-4 )

Answer 1

-log3 (2x+5)>log3 [1/(x-4)]
x≠4     2x+5>0 ⇒x>-5/2    x-4>0   x>4
 так как основание логарифма 3>1, то знак неравенства  сохраняется
2x+5>1/(x-4)         2x+5 -1/(x-4)>0
(2x+5)(x-4)-1>0     2x²+5x-8x-20-1=0    2x²-3x-21=0  D=9+8*21=177
x1=0.25(3-√177)  <0       x2=0.25(3+√177)>4
x∈(0.25(3+√177);∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства логарифмов с различными основаниями, мы можем использовать свойство изменения основания логарифма:

logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a)

Применим это свойство к обоим частям неравенства:

log 1/3 (2x + 5) > log 3/1 (x - 4)

(log (2x + 5) / log (1/3)) > (log (x - 4) / log (3/1))

Чтобы упростить выражение, заметим, что:

log (1/3) = -log (3)

(log (x - 4) / log (3)) = (log (x - 4) / log (3/1))

Теперь у нас есть:

(log (2x + 5) / -log (3)) > (log (x - 4) / log (3/1))

Умножим обе части неравенства на -log (3) для избавления от знаменателя:

log (2x + 5) < log (x - 4)

Теперь у нас есть логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому нам необходимо только сравнить аргументы логарифмов:

2x + 5 < x - 4

2x - x < -4 - 5

x < -9

Таким образом, решением данного неравенства является x < -9.