Question

Решите дифференциальное уравнение dy/x^2=dx/y^2 если у=2 при х=0

Answer 1

Уравнение с разделяющимися переменными.
y^2 dy = x^2 dx
Интегрируем
Int (y^2) dy = Int (x^2) dx
y^3/3 = x^3/3 + C/3
y^3 = x^3 + C
$y= \sqrt[3]{x^3+C}$
Если y(0) = 2, то
$2= \sqrt[3]{0^3+C} = \sqrt[3]{C}$
C = 2^3 = 8
$y= \sqrt[3]{x^3+8}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем применить метод разделяющих переменных. Начнем с записи уравнения в виде:

dy / x^2 = dx / y^2

Умножим обе части на x^2 * y^2:

y^2 * dy = x^2 * dx

Теперь проинтегрируем обе части уравнения по соответствующим переменным:

∫ y^2 * dy = ∫ x^2 * dx

Для левой стороны получим:

∫ y^2 * dy = (1/3) * y^3 + C1

Для правой стороны получим:

∫ x^2 * dx = (1/3) * x^3 + C2

Где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

Теперь подставим начальные условия у = 2 при x = 0 в уравнение. У нас есть y = 2 и x = 0:

(1/3) * (2^3) + C1 = (1/3) * (0^3) + C2

8/3 + C1 = 0/3 + C2

C1 = C2 - 8/3

Теперь мы можем объединить оба уравнения и записать окончательное решение:

(1/3) * y^3 + C1 = (1/3) * x^3 + C2

(1/3) * y^3 + (C2 - 8/3) = (1/3) * x^3 + C2

(1/3) * y^3 - (8/3) = (1/3) * x^3

y^3 - 8 = x^3

Таким образом, окончательным решением дифференциального уравнения является y^3 - 8 = x^3.