Question

4^1/x + 6^1/x - 9^1/x = 0 Помогите решить срочно

Answer 1

$4^{1/x}+6^{1/x}-9^{1/x}=0\; ,\; \; x\ne 0\\\\(2^{1/x})^2+2^{1/x}\cdot 3^{1/x}-(3^{1/x})^2=0\; |:(3^{1/x})^2\ne 0\\\\t=(\frac{2}{3})^{1/x}>0\; ,\; \; t^2+t-1=0\; ,\; \; (t+0,5)^2-1,25=0\; ,$

$(t+0,5-\sqrt{1,25})(t+0,5+\sqrt{1,25})=0\\\\t_1=\sqrt{1,25}-0,5>0\; \; ,\; \; t_2=-0,5-\sqrt{1,25}$

$(\frac{2}{3})^{1/x}=\sqrt{\frac{125}{100}}-\frac{1}{2}\; ,\; \; (\frac{2}{3})^{1/x}=\frac{5\sqrt5}{10}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2}$

$\frac{1}{x}=log_{2/3}\frac{\sqrt5-1}{2}\; ,\; \; x=\frac{1}{log_{2/3}\frac{\sqrt5-1}{2}}$

$x=\frac{log_2\frac{2}{3}}{log_2(\sqrt{5}-1)-log_22}=\frac{1-log_23}{log_2(\sqrt5-1)-1}$

Answer 2

Для решения данного уравнения воспользуемся методом замены переменной. Обозначим $y = 4^{1/x}$. Тогда у нас получится следующее уравнение:

$y + \left(\frac{6}{y}\right) - \left(\frac{9}{y}\right) = 0$

Умножим каждое слагаемое на $y$:

$y^2 + 6 - 9y = 0$

Теперь приведём это уравнение к квадратному виду:

$y^2 - 9y + 6 = 0$

Факторизуем это уравнение:

$(y - 3)(y - 2) = 0$

Теперь рассмотрим два случая:

1. $y - 3 = 0$: $y = 3$

2. $y - 2 = 0$: $y = 2$

Теперь вспомним, что $y = 4^{1/x}$, и решим два уравнения относительно $x$:

1. $4^{1/x} = 3$: Возведём обе части уравнения в степень $x$: $4 = 3^x$ Теперь возьмём логарифм от обеих частей: $\log(4) = \log(3^x)$ Применим свойство логарифма $\log(a^b) = b \log(a)$: $\log(4) = x \log(3)$ Разделим обе части уравнения на $\log(3)$: $x = \frac{\log(4)}{\log(3)}$

2. $4^{1/x} = 2$: Повторим те же шаги: $4 = 2^x$ $\log(4) = \log(2^x)$ $\log(4) = x \log(2)$ $x = \frac{\log(4)}{\log(2)}$

Таким образом, мы получаем два решения для $x$:

$x_1 = \frac{\log(4)}{\log(3)}$

$x_2 = \frac{\log(4)}{\log(2)}$

Обратите внимание, что для решения этого уравнения требуется использование логарифмов.