Question

Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни уравнения принадлежат указанной множестве чисел: x^2-2ax+a^2-1=0; (2;4]. Пожалуйста с объяснением

Answer 1

x²-2ax-a²-1=0

D≥0

f(2)>0

f(4)≥0

xв>2

хв<4

4а²+4а²+4≥0 - верно всегда

4-4а-а²-1>0

16-8а-а²-1≥0

2а/2>2

2а/2<4

-а²-4а+3>0

-а²-8а+15≥0

а є (2;4)

а²+4а-3<0 Д=16+12=(2√7)² а1=-2-2√7 а2=-2+2√7

а²+8а-15≤0 Д=64+60=(2√31)² а1=-8+2√31 а2=-8-2√31

а є (2;4)

Пересечение множеств

Ответ: а є (2; -8-2√31].

Если будут вопросы- обращайтесь:)

Answer 2

Для определения значений параметра a, при которых корни уравнения x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0 принадлежат множеству чисел (2, 4], мы должны рассмотреть условия, при которых корни лежат в этом интервале.

Корни уравнения могут быть найдены с помощью формулы квадратного корня:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

где a = 1, b = -2a и c = a^2 - 1.

Подставим эти значения в уравнение:

x = (-(-2a) ± √((-2a)^2 - 4(1)(a^2 - 1))) / (2(1)) = (2a ± √(4a^2 - 4(a^2 - 1))) / 2 = (2a ± √(4a^2 - 4a^2 + 4)) / 2 = (2a ± √4) / 2 = (2a ± 2) / 2 = a ± 1.

Таким образом, корни уравнения равны a + 1 и a - 1.

Мы хотим, чтобы оба корня принадлежали интервалу (2, 4].

1. Рассмотрим a + 1 > 2: a > 1.

2. Рассмотрим a - 1 ≤ 4: a ≤ 5.

Итак, параметр a должен удовлетворять неравенству a > 1 и a ≤ 5.

Таким образом, все значения параметра a, при которых корни уравнения x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0 принадлежат интервалу (2, 4], это 1 < a ≤ 5.