Question

В классе 24 человека. При проверке диктанта в классе оказалось, что грубые ошибки составляют не меньше четверти всех ошибок. Если бы каждый ученик сделал в 3 раза больше грубых ошибок и на 2 больше негрубых, то число грубых ошибок стало бы ровно в 5 раз меньше числа негрубых. Какое наименьшее число учеников могло написать диктант вообще без ошибок?

Answer 1

Пусть количество грубых ошибок равно х, а не грубых - у.
Перепишем условия задачи, используя это:
1) x≥1/4*(x+y)/*4
4x≥x+y3x≥y
2) 3x=(y+2*24)/5
Так как 3x≥y и 3x=(y+48)/5, то
(y+48)/5≥y/*5
y+48≥5y
48≥4y/:4
y≤12
Так как 3x≥y и y=15x-48, тогда:
3x≥15x-48
48≥12x/:12
x≤4
Получается система неравенств x≤4, y≤12. Из этого следует, что x+y≤16.
Так как МИНИМАЛЬНОЕ количество человек, написавших диктант без ошибок будет при условии, что каждый ученик допустит по одной ошибке. Наибольшее количество грубых ошибок равно 4, а не грубых - 12.
Проверим, выполняется ли при этих значениях условие задачи: 
15x=y+48,
15*4=12+48,
60=60 
Значит, данные значения являются решением данной задачи. Всего учеников было 24, без ошибок напишут 24-12-4=8 человек.

Answer 2

Пусть общее количество ошибок в классе равно Е. Тогда грубых ошибок составляют не меньше четверти всех ошибок, то есть грубых ошибок равно (1/4)Е.

Если каждый ученик сделал в 3 раза больше грубых ошибок и на 2 больше негрубых, то число грубых ошибок стало бы равно (1/5) негрубых ошибок.

Тогда можно записать уравнение:

(1/5)E = (1/4)Е + 3(1/4)Е + 2E

(1/5)E = (1/4)Е + (3/4)Е + 2E

(1/5)E = (8/4)Е + 2E

(1/5)E = (10/4)Е

4E = 5(10E)

4E = 50E

50E - 4E = 0

46E = 0

E = 0

Это означает, что общее количество ошибок E равно 0. Если общее количество ошибок равно 0, то каждый ученик написал диктант без ошибок.

Таким образом, наименьшее число учеников, которые могли написать диктант без ошибок, равно 24.