Question

7cos2x-4sin2x=-4 Как решить ?

Answer 1

$7cos2x-4sin2x=-4\; |:\sqrt{65}\\\\\frac{7}{\sqrt{65}}\cdot cos2x-\frac{4}{\sqrt{65}}\cdot sin2x=-\frac{4}{\sqrt{65}}\\\\(\frac{7}{\sqrt{65}})^2+(\frac{4}{\sqrt{65}})^2=1\; \; \to \; \; \frac{7}{\sqrt{65}}=sina\; ,\; \; \frac{4}{\sqrt{65}}=cosa\; \; \to \; \; tga=\frac{7}{4}\; ,\\\\a=arctg\frac{7}{4}\\\\sina\cdot cos2x-cosa\cdot sin2x=-\frac{4}{\sqrt{65}}\\\\sin(a-2x)=-\frac{4}{\sqrt{65}}\\\\a-2x=(-1)^{n}\cdot arcsin(-\frac{4}{\sqrt{65}})+\pi n=(-1)^{n+1}\cdot arcsin\frac{4}{\sqrt{65}}+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\2x=a-(-1)^{n+1}\cdot arcsin\frac{4}{\sqrt{65}}-\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x=\frac{1}{2}\cdot (arctg\frac{7}{4}+(-1)^{n+2}\cdot arcsin\frac{4}{\sqrt{65}}+\pi n)\; ,\; n\in Z$

Answer 2

7cos2x-4sin2x= - 4

Решаем как однородное.

7(Сos²x - Sin²x) - 4*2SinxCosx  = -4*1

7Cos²x - 7Sin²x -8SinxCosx = -4(Sin²x + Cos²x)

7Cos²x - 7Sin²x -8SinxCosx  +4Sin²x + 4Cos²x=0

11Cos²x -8SinxCosx -3Sin²x = 0 | :Сos²x≠ 0

11 -8tg²x -3tg²x = 0

tgx = t

-3t² -8t +11 = 0

3t² +8t -11 = 0

t = (-4+-√(16 +33))/3 = (-4 +-7)/3

t₁ = -11/3                                    t₂ = 1

tgx = -11/3                                 tgx = 1

x = -arctg11/3 + πk , k ∈Z         x = π/4 + πn , n ∈ Z

Answer 3

Уравнение, которое вы предоставили, выглядит следующим образом:

7cos(2x) - 4sin(2x) = -4

Давайте решим его.

Первым шагом мы можем преобразовать тригонометрические функции в их эквиваленты в терминах синуса и косинуса удвоенного угла:

7(cos^2(x) - sin^2(x)) - 4(2sin(x)cos(x)) = -4

Затем мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы заменить sin^2(x) и cos^2(x):

7(cos^2(x) - (1 - cos^2(x))) - 4(2sin(x)cos(x)) = -4

Теперь раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

7cos^2(x) - 7 + 7cos^2(x) + 8sin(x)cos(x) = -4

Упростим уравнение:

14cos^2(x) + 8sin(x)cos(x) - 7 = -4

14cos^2(x) + 8sin(x)cos(x) + 3 = 0

Далее, мы можем заменить cos(x) на 1 - sin^2(x) (используя тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1):

14(1 - sin^2(x)) + 8sin(x)(1 - sin^2(x)) + 3 = 0

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

14 - 14sin^2(x) + 8sin(x) - 8sin^3(x) + 3 = 0

-8sin^3(x) - 14sin^2(x) + 8sin(x) + 17 = 0

Теперь мы получили кубическое уравнение относительно sin(x). Мы можем попытаться решить его численно или графически, используя методы численного анализа или программное обеспечение для символьных вычислений.

Однако, я не смогу предоставить точное аналитическое решение для этого уравнения, так как оно не имеет простой формы. Решение требует численных методов или использования математического программного обеспечения.