Question

Найти значении параметра a, при котором сумма квадратов корней уравнения x^2−(a+1)x+a−1=0 является наименьшей.

Answer 1

Применяем теорему Виетта
x1+x2=a+1; x1*x2=a-1
возводим первое равенство в квадрат:
(x1)^2+2*x1*x2+(x2)^2=(a+1)^2
Подставляем вместо x1*x2 его значение (a-1):
(x1)^2+2*(a-1)+(x2)^2=(a+1)^2
(x1)^2+(x2)^2=(a+1)^2-2*(a-1)=(a+1)^2+2-2a
Ответ: a=0

Answer 2

Чтобы найти значение параметра a, при котором сумма квадратов корней уравнения x^2−(a+1)x+a−1=0 является наименьшей, мы можем воспользоваться методом наименьших квадратов.

Пусть корни уравнения будут x_1 и x_2. Тогда мы знаем, что сумма корней равна (a+1), а их произведение равно (a-1).

Сумма квадратов корней может быть выражена следующим образом:

(x_1^2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

Заменяя значения суммы и произведения корней, получаем:

(x_1^2 + x_2^2) = (a + 1)^2 - 2(a - 1)

(x_1^2 + x_2^2) = a^2 + 2a + 1 - 2a + 2

(x_1^2 + x_2^2) = a^2 + 3

Теперь мы хотим найти минимальное значение суммы квадратов корней, поэтому нужно найти минимальное значение выражения a^2 + 3.

Минимальное значение a^2 достигается при a = 0 (когда a равно нулю), поскольку квадрат положительного числа всегда положителен. Таким образом, минимальное значение выражения a^2 + 3 равно 3.

Итак, значение параметра a, при котором сумма квадратов корней уравнения является наименьшей, равно a = 0.