Question

Найдите все простые числа p, такие, что p+10 и p+14 также являются простыми. В ответе укажите количество найденных чисел p.

Answer 1

При p=2 условие не выполняется (12 и 14 составные числа)
при p=3 условие выполняется (13 и 17 простые числа)
при p>3 любое простое число при делении на 6 может давать только остатки 1 или 5, а 10 при делении на 6 дает остаток 4, а 14 - 2.
итак, если p дает при делении на 6 остаток 1, то p+10 дает остаток 5, а p+14 - 3, а такое число уже будет кратно 3-м (вот тут видно p+14=6k+3=3(2k+1)), т.е. условие не выполняется для p+14. если p дает при делении на 6 остаток 5, то p+10 дает остаток 5+4-6=3 при делении на 6, т.е. будет кратно 3-м, а это уже составное число. итак, т.е. при p>3 p+10 и p+14 не могут являться одновременно простыми
Ответ: одно число (p=3)

Answer 2

Для решения этой задачи, нужно проверить все возможные значения числа p и определить, являются ли p, p+10 и p+14 простыми числами. Вот алгоритм, который поможет найти все такие числа p:

1. Зададим начальное значение p = 2.
2. Инициализируем переменную count = 0 для отслеживания количества найденных чисел p.
3. Проверим, является ли p простым числом.
4. Если p является простым числом, проверим, являются ли p+10 и p+14 также простыми числами.
5. Если и p, и p+10, и p+14 являются простыми числами, увеличим count на 1.
6. Увеличим значение p на 1 и вернемся к шагу 3.
7. Повторяем шаги 3-6 до тех пор, пока не будут проверены все возможные значения p.

Вот Python-код, который реализует описанный алгоритм:

pythonCopy code
def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    if n <= 3:
        return True
    if n % 2 == 0 or n % 3 == 0:
        return False
    i = 5
    while i * i <= n:
        if n % i == 0 or n % (i + 2) == 0:
            return False
        i += 6
    return True

def find_primes():
    p = 2
    count = 0
    while True:
        if is_prime(p) and is_prime(p + 10) and is_prime(p + 14):
            count += 1
        p += 1
        if p > 1000000:  # Установите верхнюю границу поиска в соответствии с требуемым диапазоном.
            break
    return count

result = find_primes()
print("Количество найденных чисел p:", result)

Этот код будет выполняться до тех пор, пока не будут проверены все значения p в диапазоне, заданном в коде (в примере указан диапазон от 2 до 1000000). Найденное количество чисел p будет выводиться в консоль.

Обратите внимание, что этот код может занять некоторое время на выполнение, так как проверка простоты числа является вычислительно интенсивной операцией. Если вам нужно найти числа p быстрее, можно использовать более эффективные алгоритмы проверки простоты.