Question

Найти последнюю цифру числа 3^57+4^25 (Если не трудно сделайте в подробностях чтобы я понял. Cпасибо заранее )

Answer 1

$3^{57}=3^{56}\cdot 3=(3^4)^{14}\cdot 3=81^{14}\cdot 3$

Так как число 81 оканчивается цифрой 1, то сколько бы единиц ни перемножили, все равно на конце будет 1, то есть степень 81¹⁴ оканчивается цифрой 1. Тогда произведение

$81^{14}\cdot 3 = \overline{...1}\cdot 3=\overline{...3}$    будет оканчиваться на 3.

$4^{25}=4^{24}\cdot 4=(4^2)^{12}\cdot 4=16^{12}\cdot 4$

Так как число 16 оканчивается цифрой 6, то сколько бы раз ни умножали 6 на 6, все равно на конце будет 6, то есть степень 16¹² оканчивается цифрой 6. Тогда произведение

$16^{12}\cdot 4 = \overline{...6}\cdot 4=\overline{...4}$    будет оканчиваться на 4.

Последняя цифра в сумме степеней 7 :

$3^{57}+4^{25}=\overline{...3}+\overline{...4}=\overline{...7}$

Ответ : 7

Answer 2

Чтобы найти последнюю цифру числа 3^57 + 4^25, мы должны рассмотреть остатки от деления каждой степени на 10. Поскольку мы ищем последнюю цифру, мы фокусируемся только на этом остатке.

Давайте начнем с числа 3. Возведем его в степень 57 и найдем остаток от деления на 10. Чтобы сделать это, мы можем использовать цикличность остатков деления на 10. Например:

3^1 ≡ 3 (mod 10) 3^2 ≡ 9 (mod 10) 3^3 ≡ 7 (mod 10) 3^4 ≡ 1 (mod 10)

Здесь мы видим, что последние цифры повторяются циклично с периодом 4. Поскольку 57 делится на 4 без остатка (57 = 14 * 4 + 1), мы можем сказать, что:

3^57 ≡ 3^1 ≡ 3 (mod 10)

Теперь рассмотрим число 4. Возведем его в степень 25 и найдем остаток от деления на 10:

4^1 ≡ 4 (mod 10) 4^2 ≡ 6 (mod 10) 4^3 ≡ 4 (mod 10) 4^4 ≡ 6 (mod 10)

Здесь мы видим, что последние цифры повторяются циклично с периодом 2. Поскольку 25 делится на 2 без остатка (25 = 12 * 2 + 1), мы можем сказать, что:

4^25 ≡ 4^1 ≡ 4 (mod 10)

Теперь мы можем сложить остатки от деления обоих чисел и найти последнюю цифру:

3^57 + 4^25 ≡ 3 + 4 ≡ 7 (mod 10)

Таким образом, последняя цифра числа 3^57 + 4^25 равна 7.