Question

Четырехугольник ABCD-параллелограмм. Найдите векторы: 1)AB-DC+BC 2)AD-BA+DB+DC 3)AB+CA-DA

Answer 1

1)

$\vec{AB}-\vec{DC}+\vec{BC} =\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD} =\vec{AD}$

Воспользовались переместительным законом, также тем, что $\vec{XY}=-\vec{YX}$ и правилом многоугольника: $\vec{XX_1}+\vec{X_1X_2}+...+\vec{X_{n-1}X_n} =\vec{XX_n}$

2)

$\vec{AD}-\vec{BA}+\vec{DB}+\vec{DC}=\vec{AD}+\vec{DB}-\vec{BA}+\vec{DC} =\\\\=\vec{AB}+\vec{AB}+\vec{DC} =2\vec{AB}+\vec{AB}=3\vec{AB}$

Использовали те же факты, что в первом пункте и не только. Так, например $\vec{AB}=\vec{DC}$ поскольку AB║DC, как противоположные стороны параллелограмма, по тем же соображениям AB=DC и векторы направлены в одну сторону (т. A и т. D лежат в одной полуплоскости от BC).

3)

$\vec{AB}+\vec{CA}-\vec{DA}=\vec{DC}+\vec{CA}+\vec{AD}=\\\\=\vec{AD}+\vec{DC}+\vec{CA}=\vec{AA} =0$

Использовали всё то, что было во втором пункте (например $\vec{AB}=\vec{DC}$) и ещё определение нулевого вектора: вектор начало и конец которого в одной точке.

Ответы:

$1)\vec{AD};\; 2)\,3\vec{AB};\; 3)\,0.$