Question

Найти площадь фигуры , ограниченной линиями: 1). и у=1 2)

Answer 1

1) Найдем пересечения этих графиков.
$1=4x^2+3x\\ 4x^2+3x-1=0$
обыкновенное квадратное уравнение.
  $D=b^2-4ac=3^2-4\cdot4\cdot(-1)=25\\ \\ x_1= \frac{-3+5}{2\cdot4}= \frac{1}{4} \\ \\ x_2= \frac{-3-5}{2\cdot4}=-1$

Построение графиков функции

y = 1 - прямая, параллельная оси Ох

y = 4x^2 + 3x - квадратичная функция
Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх.
Координаты вершины параболы: $x=- \frac{b}{2a} =- \frac{3}{2\cdot4} =- \frac{3}{8} =-0.375\\ y=4\cdot(-0.375)^2+3\cdot(-0.375)=-0.5625$

Площадь фигуры:
$S= \int\limits^{ \frac{1}{4} }_{-1} {(1-4x^2-3x)} \, dx =(x- \frac{4x^3}{3} - \frac{3x^2}{2})|^{ \frac{1}{4} }_{-1} = \frac{125}{96}$ кв. ед.

2) $y=2.5x^2-x-4, y=-1.5x^2+2x+3$

найдем пересечение графиков функции

$2.5x^2-x-4=-1.5x^2+2x+3\\ 4x^2-3x-7=0\\ \\ D=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot4\cdot(-7)=121\\ \\ x_1=-1\\ \\ x_2=1.75$

Графики функции как обычно квадратичные. Думаю легко сможете найти координаты вершин параболы

Площадь фигуры:

$S= \int\limits^{1.75}_{-1} {(-1.5x^2+2x+3-2.5x^2+x+4)} \, dx = \int\limits^{1.75}_{-1} {(7+3x-4x^2)} \, dx = \\\\ =(7x+ \frac{3x^2}{2} - \frac{4x^3}{3})|^{1.75}_{-1}\approx13.8$