Question

Найти массу груза, который на пружине К = 318 Н / м делает 51 колебание в минуту.

Answer 1

Для этой задачи мы можем использовать формулу для периода колебаний пружинного маятника, связывающую период колебаний (\(T\)), жёсткость пружины (\(k\)) и массу груза (\(m\)):

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

Где \(T\) - период колебаний в секундах, \(k\) - жёсткость пружины в Н/м (Ньютонах на метр), \(m\) - масса груза в килограммах.

Мы можем выразить массу груза через данную формулу, зная, что количество колебаний в минуту (\(f\)) связано с периодом колебаний формулой:

\[ f = \frac{1}{T} \]

Где \(f\) - частота колебаний в герцах (1 Гц = 1 колебание в секунду).

Сначала переведем 51 колебание в минуту в период колебаний в секундах:

\[ f = 51 \text{ колебание/мин} = \frac{51}{60} \text{ колебание/сек} \]

\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{\frac{51}{60}} \text{ сек} \approx 1.176 \text{ сек} \]

Теперь, используя формулу для периода колебаний, мы можем выразить массу груза:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

Разрешим уравнение относительно \(m\):

\[ \sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{T}{2\pi} \]

\[ \frac{m}{k} = \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 \]

\[ m = k \times \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 \]

Теперь мы можем использовать данное значение периода (\(T\)) и жёсткость пружины (\(k\)) для вычисления массы груза. В данном случае, у нас дана жёсткость пружины (\(k\)) равная 318 Н/м.

\[ m = 318 \times \left(\frac{1.176}{2\pi}\right)^2 \]

\[ m \approx 318 \times \left(\frac{1.176}{2 \times 3.14159}\right)^2 \]

\[ m \approx 318 \times \left(\frac{1.176}{6.28318}\right)^2 \]

\[ m \approx 318 \times \left(0.1875\right)^2 \]

\[ m \approx 318 \times 0.03515625 \]

\[ m \approx 11.191 \text{ кг} \]

Таким образом, масса груза, который делает 51 колебание в минуту на пружине с жёсткостью 318 Н/м, составляет примерно 11.191 кг.