Question

На гладкой горизонтальной поверхности лежит длинный брусок массой М\. На бруске стоит пушка массой M2. Из пушки производится выстрел в горизонтальном направлении снарядом массы т, вылетающим со скоростью V относительно земли. Пушка, испытав отдачу, проходит некоторое расстояние по бруску, затем под влиянием сил трения она перестает двигаться относительно бруска. Определить количество механической энергии Q, превратившейся в тепло за счет сил трения между пушкой и бруском.

Answer 1

Давайте рассмотрим систему и проведем анализ взаимодействия между ее элементами.

Обозначим: - \( M_1 \) - масса бруска, - \( M_2 \) - масса пушки, - \( t \) - масса снаряда, - \( V \) - скорость вылета снаряда.

Когда снаряд вылетает из пушки, система приобретает импульс, равный \( t \cdot V \). Согласно закону сохранения импульса, система (брусок + пушка) начинает двигаться в противоположном направлении с тем же импульсом. Следовательно, изменение скорости системы равно \( \Delta v = \frac{t \cdot V}{M_1 + M_2} \).

Теперь рассмотрим работу сил трения между пушкой и бруском. Работа, совершенная этими силами, равна произведению силы трения на перемещение. Так как пушка останавливается относительно бруска, то работа сил трения превращается в тепловую энергию.

Тепловая энергия, созданная за счет сил трения, равна \( Q = F_{\text{тр}} \cdot \Delta x \), где \( F_{\text{тр}} \) - сила трения, \( \Delta x \) - расстояние, на которое двигается пушка под влиянием сил трения.

Сила трения можно выразить как \( F_{\text{тр}} = \mu \cdot N \), где \( \mu \) - коэффициент трения, \( N \) - нормальная реакция опоры (равная весу пушки и снаряда).

Теперь нам нужно определить \( \Delta x \). Поскольку пушка двигается по бруску, равномерно тормозясь, используем уравнение равномерного торможения: \( v^2 = u^2 + 2a \cdot s \), где \( v \) - конечная скорость (нулевая в данном случае), \( u \) - начальная скорость (равная \( \frac{t \cdot V}{M_1 + M_2} \)), \( a \) - ускорение (равное \( -\frac{F_{\text{тр}}}{M_1 + M_2} \)), \( s \) - путь, который прошла пушка.

Подставим выражение для \( F_{\text{тр}} \) и решим уравнение относительно \( \Delta x \):

\[ 0 = \left(\frac{t \cdot V}{M_1 + M_2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{\mu \cdot g \cdot (M_1 + M_2)}{M_1 + M_2} \cdot \Delta x \]

Решив уравнение, найдем \( \Delta x \).

Теперь подставим \( F_{\text{тр}} \) и \( \Delta x \) в формулу для тепловой энергии:

\[ Q = \mu \cdot g \cdot (M_1 + M_2) \cdot \Delta x \]

Это будет количество механической энергии, превратившейся в тепло за счет сил трения между пушкой и бруском.