Question

два спортсмена движутся по пересекающимся под углом 60 градусов прямым дорожкам с одинаковыми по модулю скоростями.Через промежуток времени t=1 мин после их встречи в месте пересечения дорожек расстояние между ними стало l=200м.Найдите модули скоростей движения спортсменов

Answer 1

Представим, что спортсмены движутся по координатной оси, и пусть начальное положение первого спортсмена будет точкой (0,0), а второго - (l,0), где l = 200 м. Также предположим, что скорости спортсменов равны и равны V.

Через промежуток времени t = 1 мин (или 60 секунд) после их встречи первый спортсмен пройдет расстояние V * t, а второй - (V * t) * cos(60°) по горизонтали и (V * t) * sin(60°) по вертикали.

Таким образом, координаты спортсменов через t секунд после встречи будут:

Для первого спортсмена: (V * t, 0) Для второго спортсмена: (l + (V * t) * cos(60°), (V * t) * sin(60°))

Расстояние между ними через t секунд после встречи будет разностью их координат:

\[ D(t) = \sqrt{[l + (V * t) * \cos(60°) - V * t]^2 + [(V * t) * \sin(60°)]^2} \]

При t = 1 минута (или 60 секунд):

\[ D(60) = \sqrt{[200 + V * \cos(60°) - V]^2 + [(V * \sin(60°)]^2} \]

Учитывая, что \(\cos(60°) = 0.5\) и \(\sin(60°) = \sqrt{3}/2\), мы можем подставить значения:

\[ D(60) = \sqrt{[200 + 0.5V - V]^2 + \left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)V\right]^2} \]

\[ D(60) = \sqrt{[200 - 0.5V]^2 + \left(\frac{3V}{4}\right)^2} \]

\[ D(60) = \sqrt{40000 - 200V + 0.25V^2 + \frac{9V^2}{16}} \]

\[ D(60) = \sqrt{40000 - 200V + \frac{25V^2}{16}} \]

Теперь, учитывая, что \(D(60) = 200\) м, мы можем решить уравнение:

\[ 200 = \sqrt{40000 - 200V + \frac{25V^2}{16}} \]

\[ 200^2 = 40000 - 200V + \frac{25V^2}{16} \]

\[ 40000 = 40000 - 200V + \frac{25V^2}{16} \]

\[ 0 = \frac{25V^2}{16} - 200V \]

\[ 0 = V \left(\frac{25V}{16} - 200\right) \]

Отсюда получаем два решения:

1. \(V = 0\) (это не имеет смысла в контексте задачи, так как это бы значило, что спортсмены стоят на месте). 2. \(V = \frac{16}{25} \times 200 = \frac{16}{25} \times 200 = 128\) м/мин.

Таким образом, модули скоростей спортсменов равны 128 м/мин.