Question

Уравнение вращения твердого тела φ(t) = t3 + 3•t, рад. Определите полное ускорение для точки тела, отстоящей на R = 20 см от оси вращения, через t = 2 с после начала движения.

Answer 1

См. решение в приложенном файле

Answer 2

Для определения полного ускорения точки твердого тела, отстоящей на расстоянии \(R\) от оси вращения, нужно рассмотреть формулы для углового ускорения и линейного ускорения.

Угловое ускорение (\(\alpha\)) связано с угловой скоростью (\(\omega\)) и углом поворота (\(\phi\)) следующим образом:

\[ \alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\phi}{dt^2} \]

В данном случае у вас задано уравнение для угла поворота:

\[ \phi(t) = t^3 + 3t \]

Чтобы найти угловую скорость, нужно взять первую производную угла по времени:

\[ \omega(t) = \frac{d\phi}{dt} \]

После этого, для нахождения углового ускорения, берем вторую производную угла по времени:

\[ \alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\phi}{dt^2} \]

Теперь, чтобы найти линейное ускорение точки на расстоянии \(R\) от оси вращения, воспользуемся следующей формулой:

\[ a(t) = R \cdot \alpha(t) \]

Теперь мы можем решить задачу:

1. Найдем угловую скорость \(\omega(t)\) и угловое ускорение \(\alpha(t)\) подставив уравнение для \(\phi(t)\) в соответствующие формулы. 2. Подставим полученные значения в формулу линейного ускорения, чтобы найти полное ускорение для точки на расстоянии \(R\) от оси вращения.

Давайте проделаем вычисления:

1. Найдем \(\omega(t)\): \[ \omega(t) = \frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 3t) = 3t^2 + 3 \]

2. Теперь найдем \(\alpha(t)\): \[ \alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 3) = 6t \]

3. Найдем линейное ускорение \(a(t)\): \[ a(t) = R \cdot \alpha(t) = 0.2 \cdot (6t) = 1.2t \]

Теперь, чтобы найти полное ускорение через \(t = 2\) секунды после начала движения:

\[ a(2) = 1.2 \cdot 2 = 2.4 \, \text{м/с}^2 \]

Таким образом, полное ускорение точки тела через \(2\) секунды после начала движения составляет \(2.4 \, \text{м/с}^2\).