Question

Работа газа численно равна площади под кривой. Доказать, вывести, пояснить.График зависимости P-V представляет собой прямую линию, фигура под этой прямой - прямоугольная трапеция. Необходимо, чтобы работа расширения газа была численно равна площади этой прям. трапеции.

Answer 1

Работа газа - определенный интеграл int[ p dV ] с нижним пределом V1 и верхним - V2. Смысл определенного интеграла - площадь под графиком. На p-V диаграмме строится график процесса и площадь под ним - площадь этого определенного интеграла. Значит площадь под графиком на p-V диаграмме - работа газа.
Вообще проще нарисовать рис   c графиком прямоугольной трапеции. Необходимо, чтобы работа расширения газа  численно равна площади этой прям. трапеции.S=$\int\limits^V_Vf(x) \, dV$

Если криволинейная трапеция расположена над осью  , то её площадь можно найти по формуле: .S=$\int\limits^V_V{f(x)} \, dV$

Answer 2

Для доказательства утверждения о том, что работа газа при его расширении численно равна площади под кривой P-V (давление-объем), давайте рассмотрим процесс изотермического расширения идеального газа.

Пусть газ расширяется из начального состояния 1 в конечное состояние 2. Изотермическое расширение означает, что температура газа остается постоянной на протяжении всего процесса. График P-V для изотермического расширения идеального газа представляет собой гиперболу, и для удобства представления примем ее за прямую линию.

Уравнение состояния идеального газа можно записать как:

\[PV = nRT,\]

где P - давление, V - объем, n - количество молекул газа (моль), R - универсальная газовая постоянная, T - температура.

Если температура остается постоянной, то уравнение можно переписать как:

\[PV = \text{const}.\]

График P-V для этого уравнения - прямая линия.

Теперь рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную этой линией и осями координат P и V. Пусть A и B - точки начального и конечного состояний газа соответственно, C и D - точки на осях координат, в которых вертикальные линии проходят через A и B.

Площадь под кривой P-V равна площади прямоугольной трапеции ABCD. Работа, совершаемая газом при его расширении от состояния 1 до состояния 2, равна этой площади.

Теперь давайте численно выразим эту работу. Работа представляет собой интеграл давления по объему:

\[W = \int_{V_1}^{V_2} P dV.\]

Так как график представляет собой прямую линию, можем выразить P через V:

\[P = \frac{nRT}{V}.\]

Подставим это выражение для P в интеграл:

\[W = \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V} dV.\]

Интегрируем:

\[W = nRT \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} dV.\]

Теперь решим интеграл:

\[W = nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right).\]

Это выражение соответствует работе при изотермическом расширении идеального газа. Таким образом, мы видим, что эта работа численно равна площади под кривой P-V, что подтверждает утверждение.