Question

Радиус-вектор и координаты, характеризующие положение частицы относительно неподвижной точки O, меняются со временем по законам r(t), x(t), y(x) и z(t) соответственно. Требуется: 1) найти векторы перемещения r, скорости v и ускорения a частицы спустя время t после начала движения, а также их модули; 2) найти уравнение траектории движения частицы в плоскости XY; 3) используя уравнение траектории, построить ее участок и изобразить на нем для момента времени t векторы r, v, a r=i*sin(0.16t)+j*cos^2(0,16t) t = 6c

Answer 1

Запишем уравнение в виде:
r(t) = x(t)·i + y(t)·j+z(t)·k

Имеем:
x(t) = sin (0,16·t)                   x(6) = 0,82
y(t) = cos²(0,16·t)                  y(6) = 0,33 
z(t) = 0
Делаем вывод, что точка движется в плоскости ХОY

Скорость - первая производная от координаты.
Имеем:
Vx(t) = 0,16·cos (0,16·t)
Vx(6) = 0,16·cos (0,16·6) ≈ 0,09 м/с

Vy(t) = -2·0,16·cos(0,16·t)·sin (0,16·t) = -0,16·sin(0,32·t)    - двойной угол.
Vy(6) = -0,16·sin (0,32·6) ≈ - 0,15 м/с
V=√(0,09²+(-0,15)² )= 0,17 м/с

Ускорение - производная от скорости;
ax(t) = -0,16²·sin (0,16·t)
ax(6) = -0,16²·sin (0,16·6) ≈ 0,002 м/с2

ay(t) = -0,16·0,32·sin (0,32·t) 
ay(6) = -0,16·0,32·cos (0,32·6) ≈ - 0,018 м/с²
a=√(0,002²+(-0,018)² )= 0,018 м/с²

Находим траекторию:
sin²(0,16)=x²
cos²(0,16)=y
Сложим:
1=x²+y

y=1-x²   - уравнение ПАРАБОЛЫ.

График смотри в скрине

Answer 2

Решение:

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать информацию о радиус-векторе и его зависимости от времени, чтобы найти векторы перемещения, скорости и ускорения частицы.

1) Нахождение векторов перемещения, скорости и ускорения:

Из условия задачи даны радиус-вектор r(t) и его зависимости от времени x(t), y(t) и z(t). Для нахождения векторов перемещения, скорости и ускорения, мы можем использовать следующие формулы:

- Вектор перемещения r(t) выражается как разность между начальным и конечным положением частицы:

r(t) = r - r₀,

где r₀ - начальное положение частицы, r - конечное положение частицы.

- Вектор скорости v(t) является производной вектора перемещения по времени:

v(t) = dr(t)/dt.

- Вектор ускорения a(t) является производной вектора скорости по времени:

a(t) = dv(t)/dt.

Теперь мы можем применить эти формулы, используя данные из условия задачи:

Начальное положение частицы: r₀ = 0 (т.к. начало движения)

Конечное положение частицы: r(t) = i*sin(0.16t) + j*cos^2(0.16t) + t

- Вектор перемещения r(t):

r(t) = r - r₀ = i*sin(0.16t) + j*cos^2(0.16t) + t

- Вектор скорости v(t):

v(t) = dr(t)/dt = (d/dt)(i*sin(0.16t) + j*cos^2(0.16t) + t)

Вычислим производные по t для каждой компоненты вектора r(t):

v(t) = i*(0.16*cos(0.16t)) + j*(-2*cos(0.16t)*sin(0.16t)) + k*1

- Вектор ускорения a(t):

a(t) = dv(t)/dt = (d/dt)(i*(0.16*cos(0.16t)) + j*(-2*cos(0.16t)*sin(0.16t)) + k*1)

Вычислим производные по t для каждой компоненты вектора v(t):

a(t) = i*(-0.16^2*sin(0.16t)) + j*(-2*(cos^2(0.16t) - sin^2(0.16t))) + k*0

Таким образом, мы получили векторы перемещения r(t), скорости v(t) и ускорения a(t) частицы.

2) Нахождение уравнения траектории движения частицы в плоскости XY:

Уравнение траектории движения частицы в плоскости XY можно найти, проецируя радиус-вектор r(t) на эту плоскость. Так как координаты z(t) не влияют на движение в плоскости XY, то уравнение траектории будет иметь вид:

x(t) = i*sin(0.16t) + t

y(t) = j*cos^2(0.16t)

Теперь мы можем построить участок траектории и изобразить на нем векторы r, v, a для момента времени t = 6 c.

3) Построение участка траектории и изображение векторов r, v, a:

Для построения участка траектории, мы можем использовать найденные уравнения x(t) и y(t) для каждого значения времени t.

Затем, для момента времени t = 6 c, мы можем подставить этот временной момент в уравнения x(t) и y(t), чтобы найти координаты частицы в плоскости XY:

x(6) = i*sin(0.16*6) + 6

y(6) = j*cos^2(0.16*6)

Теперь мы можем построить участок траектории и изобразить на нем векторы r, v, a для момента времени t = 6 c.

Примечание: Для более точного построения участка траектории и изображения векторов r, v, a, необходимо знать значения масштаба и единиц измерения.