Question

Помогите решить задачу Sin2x/cos^3x dx

Answer 1

∫sin2xcos3xdx=∫sin2x(1−sin2x)cosxdx=∫sin2⁡xcos3⁡xdx=∫sin2⁡x(1−sin2⁡x)cos⁡xdx=

=∫(sin2x−sin4x)d(sinx)=13sin3x−15sin5x+C.

Answer 2

Для решения данного интеграла, вам потребуются некоторые интегральные методы и тригонометрические идентичности.

Давайте рассмотрим шаги для решения данной задачи:

1. Приведение выражения к более удобному виду: Заметим, что `sin(2x) = 2sin(x)cos(x)`, а `cos^3(x) = cos(x)cos^2(x)`. Мы можем использовать эти идентичности, чтобы переписать изначальное выражение:

`∫(sin(2x) / cos^3(x)) dx = ∫(2sin(x)cos(x) / cos(x)cos^2(x)) dx`

2. Упрощение выражения: Мы можем сократить `cos(x)` в числителе и знаменателе, чтобы получить более простое выражение:

`∫(2sin(x)cos(x) / cos(x)cos^2(x)) dx = ∫(2sin(x) / cos^2(x)) dx`

3. Замена переменных: Для решения этого интеграла, мы можем воспользоваться заменой переменных. Положим `u = cos(x)`. Тогда `du = -sin(x) dx`. Мы также можем выразить `sin(x)` через `u`, используя тригонометрическую идентичность `sin^2(x) + cos^2(x) = 1`:

`sin^2(x) = 1 - cos^2(x) = 1 - u^2` `sin(x) = sqrt(1 - u^2)`

Используя эти замены переменных, мы можем переписать интеграл:

`∫(2sin(x) / cos^2(x)) dx = ∫(2sqrt(1 - u^2) / u^2) (-du)`

4. Решение нового интеграла: Мы получили новый интеграл, который можно решить с помощью метода интегрирования по частям или заменой переменных. Для данного интеграла удобно использовать замену переменных. Положим `v = 1 - u^2`. Тогда `dv = -2u du`. Мы также можем выразить `u` через `v`:

`u = sqrt(1 - v)`

Подставляя эти замены переменных, мы получаем новый интеграл:

`∫(2sqrt(1 - u^2) / u^2) (-du) = ∫(2sqrt(v) / (1 - v)) (1 / (2sqrt(1 - v))) dv`

Упрощая выражение, получаем:

`∫(2sqrt(v) / (1 - v)) (1 / (2sqrt(1 - v))) dv = ∫(1 / (1 - v)) dv`

Интегрируя это выражение, получаем:

`∫(1 / (1 - v)) dv = -ln|1 - v| + C`

5. Обратные замены переменных: Теперь, чтобы получить окончательный ответ в исходных переменных `x`, мы должны заменить обратно `v` и `u`:

`v = 1 - u^2` `u = cos(x)`

Подставляя эти обратные замены переменных в наш окончательный ответ, получаем:

`-ln|1 - v| + C = -ln|1 - (1 - cos^2(x))| + C = -ln|cos^2(x)| + C = -ln|cos(x)|^2 + C`

Таким образом, окончательный ответ на задачу будет `-ln|cos(x)|^2 + C`, где `C` - произвольная постоянная.