Question

Горизонтальная платформа массой m1=120 кг вращается о чаcтотой n1= 6 об/мин. Человек массой m2=80 кг стоит на краю платформы. С какой чаcтотой начнет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Платформу принять за однородный диск, а человека считайте материальной точкой.

Answer 1

M1 = 120 кг
m2 = 80кг
n = 6

f = 6/60 = 0.1 об/с — частота вращения платформы
ω = 2πf = 2π*0.1 рад/с — угловая частота вращения её.

Момент инерции однородного диска равен
I1 = m1 * R^2 / 2, где R — радиус диска (платформы)
По условию задачи, видимо, предполагается, что  человек стоит на краю платформы, которая уже вращается с указанной частотой.

Момент инерции человека относительно той же оси равен I2 = m2 * R^2

Суммарный момент импульса системы относительно точки вращения равен
L = (I1 + I2)*ω

По условию задачи -  человек переходит с края в центр, при этом предполагается, что на систему уже не действуют внешние силы или их момент равен нулю относительно точки / оси вращения, тогда момент импульса сохраняется.

Момент импульса системы после перехода человека в центр равен уравнению  L = I1*ω1
 (и вклад человека в момент импульса теперь равен 0)

Приравнивая, находим новую частоту вращения платформы с человеком: 

ω1 = ω * (I1 + I2) / I1= ω * (m1 / 2 + m2) / (m1 / 2) = ω * (1 + 2*m2/m1)

или ω1 = 2π*0,1 * (1 + 2*80/120) = 2π * 7/30  рад/с


поэтому f1 = ω1/(2π) = 7/30 об/с

или 14 оборотов в минуту

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон сохранения момента импульса.

Изначально, момент импульса системы (платформы и человека) равен нулю, так как они не вращаются. Поэтому, момент импульса до перемещения человека равен моменту импульса после перемещения человека.

Момент импульса платформы до перемещения человека можно выразить как: L1 = I1 * ω1, где I1 - момент инерции платформы, а ω1 - угловая скорость платформы до перемещения человека.

Момент инерции платформы можно выразить как: I1 = (1/2) * m1 * R^2, где m1 - масса платформы, а R - радиус платформы.

Момент импульса платформы после перемещения человека можно выразить как: L2 = I2 * ω2, где I2 - момент инерции платформы после перемещения человека, а ω2 - угловая скорость платформы после перемещения человека.

Момент инерции платформы после перемещения человека можно выразить как: I2 = (1/2) * m1 * R^2 + m2 * R^2, где m2 - масса человека.

Таким образом, уравнение момента импульса до перемещения человека равно уравнению момента импульса после перемещения человека: I1 * ω1 = I2 * ω2.

Подставляя значения, получаем: (1/2) * m1 * R^2 * ω1 = ((1/2) * m1 * R^2 + m2 * R^2) * ω2.

Делим обе части уравнения на (1/2) * m1 * R^2 и упрощаем: ω1 = (1/2) * (1 + m2/m1) * ω2.

Замечаем, что ω1 - это угловая скорость платформы до перемещения человека, а ω2 - это угловая скорость платформы после перемещения человека. Поскольку ω1 = 2πn1, где n1 - частота вращения платформы до перемещения человека, мы можем выразить ω2 через ω1 и n1: ω2 = ω1 / (1 + m2/m1).

Теперь мы можем найти частоту вращения платформы после перемещения человека. Частота вращения связана с угловой скоростью следующим образом: n2 = ω2 / (2π).

Подставляя значение ω2, получаем: n2 = ω1 / (2π * (1 + m2/m1)).

Таким образом, частота вращения платформы после перемещения человека равна: n2 = 6 об/мин / (2π * (1 + 80 кг / 120 кг)).

Вычисляем значение n2: n2 ≈ 6 об/мин / (2π * (1 + 2/3)) ≈ 0.955 об/мин.

Итак, платформа начнет вращаться с частотой около 0.955 об/мин, если человек перейдет в ее центр.