Question

Определение общего решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Answer 1

Любое дифференциальное уравнение y'=f(x,y) имеет бесчисленное множество решений, задаваемых формулой y=φ(x,C). Эта совокупность и называется общим решением дифференциального уравнения 1 порядка.

Answer 2

Общее решение или общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка - это функция, которая удовлетворяет данному уравнению на некотором интервале и содержит одну произвольную постоянную. Эта постоянная может быть определена, если задать начальное условие, то есть значение функции или её производной в некоторой точке. Тогда общее решение превращается в частное решение, которое является единственным на интервале существования.

Для нахождения общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка существуют различные методы, в зависимости от вида уравнения. Например, для уравнений, разрешённых относительно производной, то есть имеющих вид y′=f(x,y){\\displaystyle y'=f\\left(x,y\\right)}, можно использовать метод разделения переменных, метод интегрирующего множителя, метод Бернулли, метод Риккати и другие. Для уравнений, не разрешённых относительно производной, то есть имеющих вид F(x,y,y′)=0{\\displaystyle F\\left(x,y,y'\\right)=0}, можно использовать методы Лагранжа, Клеро, дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и другие.

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений также можно применять численные методы, которые дают приближённое решение с заданной точностью. Например, метод Эйлера, метод Рунге-Кутты, метод Адамса и другие. Эти методы особенно полезны, когда аналитическое решение уравнения трудно найти или не существует.