Question

Из сплошного однородного цилиндра сделали полый, удалив половину массы. Во сколько раз изменился момент инерции цилиндра относительно его оси?

Answer 1

Думаю так, что момент инерции вынутой части И1 будет соотноситься с моментом инерции исходного цилиндра И0 таким образом:

И0 = 1/2 * m * R0^2
И1 = 1/2 * m/2 *  R0^2 / 2 = 1/8 * m * R0^2

значит момент инерции оставшейся части цилиндра будет
И = И0 - И1 = 1/2 m R0^2 - 1/8 m R0^2 = 3/8 * m * R0^2

Отношение момента инерции оставшейся части к моменту инерции исходного цилиндра
И / И0 = 3/8 * m * R0^2  /  (1/2 * m * R0^2  ) = (3/8) / (1/2) = 3/4.

Так, наверное.

Answer 2

Момент инерции цилиндра зависит от его формы и распределения массы. Формула момента инерции для цилиндра относительно его оси, которая лежит вдоль его оси симметрии, это \(I = \frac{1}{2} m r^2\), где \(m\) - масса цилиндра, \(r\) - радиус цилиндра.

Если из сплошного однородного цилиндра удалили половину массы, то новая масса цилиндра будет составлять половину исходной массы.

Поскольку момент инерции пропорционален массе и квадрату радиуса, изменение момента инерции можно рассчитать, используя отношение моментов инерции до и после изменения массы:

Пусть \(I_{\text{начальный}}\) - начальный момент инерции, а \(I_{\text{новый}}\) - момент инерции после удаления половины массы.

Изначально момент инерции \(I_{\text{начальный}} = \frac{1}{2} m r^2\).

После удаления половины массы новый момент инерции \(I_{\text{новый}} = \frac{1}{2} \left(\frac{m}{2}\right) r^2 = \frac{1}{4} m r^2\).

Теперь найдем отношение моментов инерции:

\(\frac{I_{\text{новый}}}{I_{\text{начальный}}} = \frac{\frac{1}{4} m r^2}{\frac{1}{2} m r^2} = \frac{1}{4} : \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).

Таким образом, момент инерции цилиндра уменьшился в \(2\) раза относительно его оси после удаления половины массы.