Question

Медная электрическая провалка была заменена на алюминиваю такой же длины и сопотрибления . определить соотношения между сечениями проводов найти экономию в массе получинную при замене медного провода алюминиевым

Answer 1

Сопротивление R проводника рассчитывается по формуле:
R = ρL/S,
где ρ - удельное сопротивление (Ом*м, на практике для удобства используют размерность Ом·мм²/м), L - длина проводника (м), S - площадь сечения проводника (м²)
Или R/L = ρ/S
По условию задачи R/L - постоянная величина, поскольку постоянны R и L (сопротивление и длина проводников одинаковые). Значит, отношение ρ/S тоже постоянная величина, хотя ρ и S могут изменяться.
Тогда ρ(Al)/S(Al) = ρ(Cu)/S(Cu)
Тогда соотношение  между сечениями проводов:
S(Cu)/S(Al) = ρ(Cu)/ρ(Al) - чем меньше удельное сопротивление, тем меньше нужно сечение провода, чтобы обеспечить неизменное сопротивление при неизменной длине.
Справочные данные:
ρ(Cu) = 0,017 Ом·мм²/м
ρ(Al) = 0,026 Ом·мм²/м

S(Cu)/S(Al) = 0,017/0,026 =  0,65
S(Cu) = 0,65*S(Al)

Как видно, площадь сечения медного провода меньше сечения алюминиевого провода. На первый взгляд, медный, а не алюминиевый провод дает экономию в массе. Ведь при одинаковой длине более тонкий провод легче более толстого. Но это при одинаковой плотности проводов. А медь и алюминий сильно отличаются по плотности.  
Рассчитаем соотношение масс m проводов одинаковой длины L, но разной плотности d и сечения S.
Масса провода: m = Vd = LSd (V - объем провода, V=LS)
Соотношение масс:
m(Cu)/m(Al) = LS(Cu)d(Cu)/[LS(Al)d(Al)] = S(Cu)d(Cu)/[S(Al)d(Al)] = 
= 0.65*S(Al)d(Cu)/[S(Al)d(Al)] = 0.65d(Cu)/d(Al)
Справочные данные:
d(Cu) = 8,9 г/см³
d(Al) = 2.7 г/см³

m(Cu)/m(Al) = 0.65d(Cu)/d(Al) = 0,65*8,9/2,7 = 2,1
m(Cu) = 2.1*m(Al)
m(Al) = m(Cu) / 2.1
Экономия абсолютная (разница масс "до и после"): m(Cu) - m(Al) =
 = m(Cu) - [m(Cu)/2.1] = m(Cu)*(2.1-1)/2.1 = m(Cu)*(1.1)/2.1 = 0.52*m(Cu)
Экономия относительная (экономия абсолютная, деленная на начальную массу):0.52*m(Cu) / m(Cu) = 0.52 = 52%
Как видно, масса медного провода той же длины и с тем же сопротивлением, что и алюминиевый, в 2,1 раза больше, чем масса алюминиевого. Экономия в массе - 2,1 раза или 52%.

Answer 2

Для определения соотношения между сечениями медной и алюминиевой проволоки при замене их такой же длины и сопротивления, можно воспользоваться правилом пропорциональности между сопротивлением и сечением проводника. Сопротивление проводника прямо пропорционально его длине и обратно пропорционально сечению.

Пусть \( S_{\text{м}} \) и \( S_{\text{а}} \) - сечения медной и алюминиевой проволоки соответственно, \( L \) - длина проволоки, \( R_{\text{м}} \) и \( R_{\text{а}} \) - сопротивления медной и алюминиевой проволоки.

Так как проволока имеет одинаковое сопротивление, можно записать:

\[ R_{\text{м}} = R_{\text{а}} \]

Используем формулу для сопротивления проводника:

\[ R = \frac{{\rho \cdot L}}{{S}} \]

Где \( \rho \) - удельное сопротивление материала проводника.

Следовательно, для медной проволоки:

\[ R_{\text{м}} = \frac{{\rho_{\text{м}} \cdot L}}{{S_{\text{м}}}} \]

А для алюминиевой проволоки:

\[ R_{\text{а}} = \frac{{\rho_{\text{а}} \cdot L}}{{S_{\text{а}}}} \]

Учитывая, что \( R_{\text{м}} = R_{\text{а}} \), можно установить отношение между сечениями:

\[ \frac{{S_{\text{м}}}}{{S_{\text{а}}}} = \frac{{\rho_{\text{м}}}}{{\rho_{\text{а}}}} \]

Для алюминия удельное сопротивление обычно выше, чем для меди, поэтому чтобы сохранить одинаковое сопротивление, необходимо увеличить площадь поперечного сечения алюминиевой проволоки по сравнению с медной. Это может привести к экономии массы, так как алюминиевая проволока обычно легче, чем медная. Однако, при замене меди на алюминий также нужно учитывать другие факторы, такие как электропроводность, коррозионная стойкость и тепловые свойства материалов.