Question

В мешке лежат несколько шаров разных масс. Масса самого лёгкого шара 123 г, а самого тяжёлого 145 г. Общая масса всех шаров равна 1015 г. Сколько шаров в мешке?

Answer 1

1015/145 = 7
1015/123 > 8 но <9

Т.е. если бы у нас все шары были только самыми тяжёлыми, их было бы 7, но у нас есть как минимум один лёгкий. Получается, что у нас 8 шаров, поскольку даже если бы мы возьмём все самые лёгкие, мы не сможем взять 9.

Answer 2

Давайте обозначим количество шаров за \(n\). Тогда масса всех шаров равна сумме их масс:

\[123n + (123 + 1) + (123 + 2) + \ldots + (123 + (n-1)) + 145 = 1015.\]

Разберемся с этим уравнением:

\[123n + (123 + 1) + (123 + 2) + \ldots + (123 + (n-1)) + 145 = 1015.\]

Обратим внимание, что \(123n\) и \(145\) — это масса самого легкого и самого тяжелого шаров, соответственно. Остается учесть массу остальных шаров.

Теперь, чтобы упростить уравнение, просуммируем арифметическую прогрессию в скобках:

\[123 + (123 + 1) + (123 + 2) + \ldots + (123 + (n-1)) = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 123 + (n-1))\]

Таким образом, уравнение становится:

\[123n + \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 123 + (n-1)) + 145 = 1015.\]

Теперь решим это уравнение:

\[123n + n \cdot (246 + n - 1)/2 + 145 = 1015,\]

\[123n + n \cdot (245 + n)/2 + 145 = 1015,\]

\[2 \cdot 123n + n \cdot (245 + n) + 290 = 2030,\]

\[246n + n^2 + 290 = 2030,\]

\[n^2 + 246n - 1740 = 0.\]

Теперь решим квадратное уравнение. Мы видим, что оно раскладывается на множители:

\[(n - 10)(n + 174) = 0.\]

Отсюда получаем два варианта для \(n\): \(n = 10\) или \(n = -174\). Так как количество шаров не может быть отрицательным, то \(n = 10\).

Итак, в мешке 10 шаров.