Question

Луна движется вокруг Земли со скоростью около 1 км/с. Среднее расстояние от Земли до Луны 3,8•10^5 км. Определите массу Земли.

Answer 1

Решение во вложении:

Answer 2

Для определения массы Земли можно воспользоваться законом всемирного тяготения, который описывается уравнением:

\[ F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

где: - \( F \) - сила гравитационного взаимодействия между двумя объектами, - \( G \) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}\)), - \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы двух объектов, - \( r \) - расстояние между центрами масс этих объектов.

В данном случае объектами являются Земля и Луна. Мы знаем, что Луна движется вокруг Земли со скоростью \(1 \, \text{км/с}\) и имеет среднее расстояние от Земли \(3.8 \times 10^5 \, \text{км}\).

Сначала выразим силу гравитационного взаимодействия через массу Земли (\(m_{\text{Земли}}\)):

\[ F = \frac{{G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{Луны}}}}{{r^2}} \]

Также, мы знаем, что сила может быть выражена как произведение массы на ускорение (\(F = m \cdot a\)). В данном случае, ускорение – это центростремительное ускорение, которое поддерживает движение Луны по круговой орбите:

\[ F = m_{\text{Луны}} \cdot a_{\text{центростремительное}} \]

Центростремительное ускорение можно выразить следующим образом:

\[ a_{\text{центростремительное}} = \frac{{v^2}}{{r}} \]

где: - \( v \) - скорость Луны, - \( r \) - расстояние от центра Земли до центра Луны.

Теперь мы можем приравнять два выражения для силы и найти массу Земли:

\[ \frac{{G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{Луны}}}}{{r^2}} = m_{\text{Луны}} \cdot \frac{{v^2}}{{r}} \]

Отсюда:

\[ m_{\text{Земли}} = \frac{{v^2 \cdot r}}{{G}} \]

Подставим известные значения:

\[ m_{\text{Земли}} = \frac{{(1 \, \text{км/с})^2 \cdot (3.8 \times 10^5 \, \text{км})}}{{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}}} \]

Вычислим это:

\[ m_{\text{Земли}} \approx 5.7 \times 10^{24} \, \text{кг} \]

Таким образом, масса Земли составляет приблизительно \(5.7 \times 10^{24} \, \text{кг}\).