Question

Для нагревания 2,5 кг идеального газа на 8 °С при постоянном давлении потребовалось на 83,1 кДж большое количество теплоты, чем на нагревание того же газа на 8 °С при постоянном объеме. Определите молярную массу газа.

Answer 1

Q1 = (1 + 0,5*j)*(m/M)*R*dT

Q2 = 0,5*j*(m/M)*R*dT

dQ = (m/M)*R*dT

M = (m*R*dT)/dQ

m = 2,5 (по условию)

R = 8,31 (по условию)

dT = 8

dQ = 83,1*10^3

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться первым законом термодинамики, который утверждает, что изменение внутренней энергии газа равно сумме теплового эффекта и проделанной работы:

\[ \Delta U = Q + W \]

где \( \Delta U \) - изменение внутренней энергии, \( Q \) - переданное тепло, \( W \) - проделанная работа.

При постоянном давлении работа, проделанная газом, определяется следующим образом:

\[ W = P \cdot \Delta V \]

где \( P \) - давление, \( \Delta V \) - изменение объема.

Для процесса при постоянном объеме работа равна нулю, так как нет изменения объема (\( \Delta V = 0 \)).

Таким образом, уравнение первого закона термодинамики может быть переписано как:

\[ \Delta U = Q_P \]

где \( Q_P \) - тепло, переданное при постоянном давлении.

Тепло, переданное при постоянном давлении, можно выразить через молярную теплоемкость при постоянном давлении \( C_P \):

\[ Q_P = n \cdot C_P \cdot \Delta T \]

где \( n \) - количество молекул газа, \( C_P \) - молярная теплоемкость при постоянном давлении, \( \Delta T \) - изменение температуры.

Теперь мы можем выразить молярную массу \( M \) через молярную теплоемкость и изменение температуры:

\[ Q_P = n \cdot C_P \cdot \Delta T \]

\[ Q_P = \frac{m}{M} \cdot C_P \cdot \Delta T \]

где \( m \) - масса газа.

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ Q_P = \frac{m}{M} \cdot C_P \cdot \Delta T \]

\[ Q_V = \frac{m}{M} \cdot C_V \cdot \Delta T \]

где \( Q_V \) - тепло, переданное при постоянном объеме, \( C_V \) - молярная теплоемкость при постоянном объеме.

По условию задачи \( Q_P - Q_V = 83,1 \) кДж.

Подставим выражения для \( Q_P \) и \( Q_V \) и решим уравнение:

\[ \frac{m}{M} \cdot C_P \cdot \Delta T - \frac{m}{M} \cdot C_V \cdot \Delta T = 83,1 \]

\[ \frac{m}{M} \cdot (C_P - C_V) \cdot \Delta T = 83,1 \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно молярной массы \( M \).

\[ M = \frac{m}{\frac{C_P - C_V}{\Delta T}} \cdot 83,1 \]

Теперь давайте подставим известные значения. Для идеального моноатомного газа \( C_P - C_V = R \), где \( R \) - универсальная газовая постоянная, равная примерно \( 8,314 \) Дж/(моль·К) (это значение близко к \( 8,31 \) Дж/(моль·К) в кДж/(кмоль·К)).

\[ M = \frac{m \cdot \Delta T}{R} \cdot 83,1 \]

Теперь подставим массу \( m = 2,5 \) кг, \( \Delta T = 8 \) °C (\( \Delta T \) должно быть выражено в Кельвинах) и \( R = 8,314 \) Дж/(моль·К):

\[ M = \frac{2,5 \, \text{кг} \cdot (8 + 273)}{8,314} \cdot 83,1 \]

Решив это уравнение, мы найдем молярную массу газа \( M \).