Question

Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота φ по закону ω = ω0 - аφ, где ω0 и а — положительные постоянные. В момент времени t = 0 угол φ = 0. Найти зависимости от времени: а) угла поворота; б) угловой скорости.

Answer 1

Смотри решение во вложении
ответы смотри в рамочке

Answer 2

а) Угол поворота φ может быть найден путем интегрирования уравнения для угловой скорости ω:

dφ/dt = ω = ω0 - aφ

dφ/(ω0 - aφ) = dt

Интегрируя обе стороны, получим:

∫(1/(ω0 - aφ)) dφ = ∫dt

-1/a * ln|ω0 - aφ| = t + C

где С - постоянная интегрирования. Теперь мы можем решить это уравнение относительно φ:

ln|ω0 - aφ| = -a(t + C)

|ω0 - aφ| = e^(-a(t + C))

ω0 - aφ = ±e^(-a(t + C))

ω0 - aφ = ±e^(-at) * e^(-aC)

ω0 - aφ = ±e^(-at) * K

где K = e^(-aC) - постоянная интегрирования. Теперь мы можем решить это уравнение относительно φ:

aφ = ω0 ± e^(-at) * K

φ = (ω0 ± e^(-at) * K) / a

б) Угловая скорость ω может быть найдена путем подстановки найденного выражения для угла поворота φ в уравнение для угловой скорости:

ω = ω0 - aφ

ω = ω0 - a((ω0 ± e^(-at) * K) / a)

ω = ω0 - ω0 ± e^(-at) * K

ω = ± e^(-at) * K

Таким образом, зависимость угла поворота от времени φ будет иметь вид:

φ = (ω0 ± e^(-at) * K) / a

а зависимость угловой скорости от времени ω будет иметь вид:

ω = ± e^(-at) * K